Skizzieren von Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 23.04.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen,
ich habe leider mal eine Frage zu folgender Teilmenge:
C={(x,y,z) [mm] \in \IR^3| [/mm] |x| + |y| < 4, 0 < z < 2}
Mein Problem:
Ich habe leider so meine Probleme mit den Randpunkten.
Ist es möglich zu sagen, dass die Menge C zunächst durch 0 < z < 2 beschränkt wird und die Randpunkte halt (4,4) , (4,-4) , (-4,-4) , (-4,4) sind?
Ein weiters Problem habe ich mit den Definitionen zu abgeschlossen und offen.
abgeschlossen
[mm] \Rightarrow [/mm] Eine Menge C [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt abgeschlossen, falls sie alle ihre Randpunkte enthält
offen
[mm] \Rightarrow [/mm] Eine Menge C [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt offen, falls sie keinen ihrer Randpunkte enthält
Da ja nun aber |x| + |y| < 4 ist, hätte ich nun gesagt, dass die Menge C offen ist und nicht abgeschlossen ist, da sie ja keinen ihrer Randpunkte enthält.
also habe ich zur Menge C:
beschränkt, offen, nicht abgeschlossen
und da beschränkt aber nicht abgeschlossen somit nicht kompakt.
das ist leider alles ein bischen unformal und ich hoffe, dass ich das mit eurer Hilfe noch ein bischen besser ausführen kann.
Wäre für eure Hilfe wirklich sehr dankbar. Mit freundlichen Grüßen thadod
|
|
| |
|
Moin,
> Hallo zusammen,
>
> ich habe leider mal eine Frage zu folgender Teilmenge:
>
> [mm] C={(x,y,z)\in \IR^3| |x| + |y| < 4, 0 < z < 2}
[/mm]
>
> Mein Problem:
>
> Ich habe leider so meine Probleme mit den Randpunkten.
> Ist es möglich zu sagen, dass die Menge C zunächst durch
> 0 < z < 2 beschränkt wird und die Randpunkte halt (4,4) ,
> (4,-4) , (-4,-4) , (-4,4) sind?
Das geht nicht, in C gibt es doch nur Punkte mit drei Komponenten.
Definition Randpunkt x einer Menge [mm] X\subset [/mm] Y, wobei Y ein metrischer Raum (hier [mm] Y=\IR^3):
[/mm]
x ist Randpunkt von X [mm] \gdw [/mm] In jeder [mm] \varepsilon- [/mm] Kugel [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] von x liegt sowohl ein Punkt aus X und aus [mm] Y\backslash [/mm] X.
Alle Punkte (x,y,z) in C (mit |x|+|y|<4 und 0<z<2) sind keine Randpunkte der Menge. Überlege dir, dass es stets möglich ist eine [mm] \varepsilon [/mm] Kugel um einen solchen Punkt in C zu konstruieren, sodass alle Punkte in dieser Kugel immer noch in C liegen.
>
> Ein weiters Problem habe ich mit den Definitionen zu
> abgeschlossen und offen.
>
> abgeschlossen
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eine Menge C [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt
> abgeschlossen, falls sie alle ihre Randpunkte enthält
>
> offen
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eine Menge C [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt offen, falls
> sie keinen ihrer Randpunkte enthält
>
> Da ja nun aber |x| + |y| < 4 ist, hätte ich nun gesagt,
> dass die Menge C offen ist und nicht abgeschlossen ist, da
> sie ja keinen ihrer Randpunkte enthält.
Du musst zeigen, dass die Menge offen ist, also keinen ihrer Randpunkte enthält!
>
> also habe ich zur Menge C:
> beschränkt, offen, nicht abgeschlossen
> und da beschränkt aber nicht abgeschlossen somit nicht
> kompakt.
>
> das ist leider alles ein bischen unformal und ich hoffe,
> dass ich das mit eurer Hilfe noch ein bischen besser
> ausführen kann.
>
> Wäre für eure Hilfe wirklich sehr dankbar. Mit
> freundlichen Grüßen thadod
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 23.04.2011 | | Autor: | thadod |
Okay...
Ich habe mir nun auch mal eine Skizze zu dieser Menge angefertigt und erhalte einen Quader.
Das mit den Randpunkten ist mir noch nicht so ganz klar.
Das die Menge offen ist, zeige ich doch mit:
C={ (x,y,z) [mm] \in \IR^3| [/mm] |x| + |y| = 4, 0 < z < 2 }
[mm] \partial [/mm] C [mm] \cap [/mm] C [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Somit ist C offen
was ist mit der Abgeschlossenheit???
mfg dominicv8423
|
|
|
| |
|
> Okay...
>
> Ich habe mir nun auch mal eine Skizze zu dieser Menge
> angefertigt und erhalte einen Quader.
>
> Das mit den Randpunkten ist mir noch nicht so ganz klar.
>
> Das die Menge offen ist, zeige ich doch mit:
> C= [mm]\{ (x,y,z)\in \IR^3\ |\ \ |x| + |y| = 4\ ,\ 0 < z < 2\ \}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]\partial[/mm] C [mm]\cap[/mm] C [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Somit ist C offen
>
> was ist mit der Abgeschlossenheit???
>
> mfg dominicv8423
Hallo,
tatsächlich sieht C so wie ein Quader aus, aber wegen
den strengen Ungleichungen gehört die gesamte Ober-
fläche des Quaders nicht dazu. C besteht also nur aus
dem Inneren des Quaders. Der Rand von C ist exakt
die Oberfläche. Jeder bestimmte Punkt von C hat von
dieser Umhüllungsfläche einen bestimmten Minimalab-
stand (= Minimum der Abstände zu allen 6 Seitenflächen
des Quaders). Wenn r dieser Minimalabstand ist, gehört
die gesamte offene kugelförmige Umgebung des Punktes
mit Radius r auch noch ganz zu C.
Daraus folgt die Offenheit von C.
Natürlich ist C nicht abgeschlossen, da sogar jeder Punkt
des Randes Grenzpunkt einer Folge von Punkten [mm] C_k\in\IC
[/mm]
ist und selbst nicht zu C gehört.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
