Skizzieren von Punktemengen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 So 20.12.2009 | | Autor: | kch |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Punktemenge
[mm] M=\{z\in C| |4z-5i| \leq Im(4z-3i) und |z+i| \leq 4\} [/mm] |
Das |z+i| [mm] \leq [/mm] 4 ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt i, der einen Radius 4 hat.
Der Teil |4z-5i| [mm] \leq [/mm] Im(4z-3i) scheint auch ein Kreis zu sein. Wenn man es umformt zu [mm] 2\cdot |z-\frac{5}{4}i| \leq [/mm] Im(4z-3i) habe ich einen Kreis mit dem Mittelpunkt [mm] \frac{5}{4} [/mm] und dem Radius 0.5 [mm] \cdot [/mm] Im(4z-3i)? So wirklich richtig erscheint mir das aber nicht und ich habe auch keine Idee wie es denn aussähe. wäre klasse, wenn jemand da einen Ansatz zu hätte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kch,
> Skizzieren Sie die Punktemenge
> [mm]M = \{z\in C| |4z-5i| \leq Im(4z-3i) und |z+i| \leq 4\}[/mm]
> Das
> |z+i| [mm]\leq[/mm] 4 ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt i, der einen
> Radius 4 hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Teil |4z-5i| [mm]\leq[/mm] Im(4z-3i) scheint auch ein Kreis zu
> sein.
Schauen wir mal...
Im schlimmsten Fall setzt man halt z=a+bi an und rechnet zu Fuß. Also:
[mm] |4*(a+bi)-5i|\le Im(4*(a+bi)-3i)\gdw |4a+(4b-5)i|\le Im(4a+(4b-3)i)\gdw \wurzel{(4a)^2+(4b-5)^2}\le{4b-3}
[/mm]
An diesem Punkt der Rechnung stellen wir schonmal sicher: [mm] \blue{4b-3\ge 0}. [/mm] Weiter:
[mm] (4a)^2+(4b-5)^2\le (4b-3)^2\gdw 16a^2+16b^2-40b+25\le 16b^2-24b+9 \gdw 16a^2+16\le16b
[/mm]
[mm] \gdw a^2+1\le{b} [/mm]
Das sieht mir nicht nach einem Kreis aus. 
Du hast nun diese Beziehung von a und b und die blaue Einschränkung oben.
> Wenn man es umformt zu [mm]2\cdot |z-\frac{5}{4}i| \leq[/mm]
> Im(4z-3i) habe ich einen Kreis mit dem Mittelpunkt
> [mm]\frac{5}{4}[/mm] und dem Radius 0.5 [mm]\cdot[/mm] Im(4z-3i)? So wirklich
> richtig erscheint mir das aber nicht und ich habe auch
> keine Idee wie es denn aussähe. wäre klasse, wenn jemand
> da einen Ansatz zu hätte.
Kommst Du damit weiter?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 20.12.2009 | | Autor: | kch |
| Aufgabe | | Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe es mal geplottet und bin auf ein Ergebnis gekommen. Ist das richtig? |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe es mal geplottet und bin auf dieses Ergebnis gekommen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo kch!
Das stimmt nicht ganz. Der gesuchte Bereich ist derjenige Bereich, welcher durch Kreis und Parabel eingeschlossen wird (der kleine Abschnitt in Deiner Skizze).
Bedenke auch die Einschränkung (siehe reverends Antwort) mit $b \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 20.12.2009 | | Autor: | kch |
Vielen Dank, nochmal nachgedacht und angeguckt und verstanden :o)
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Hallo nochmal,
die Gerade [mm] Im(z)=\tfrac{3}{4} [/mm] schneidet die Parabel in der Tat nicht und braucht daher hier nicht weiter berücksichtigt zu werden. (So wäre die Aufgabenstellung auch interessanter, wenn der Bereich unter der Parabel gemeint gewesen wäre, also die Fläche zwischen Gerade, Parabel und Kreis gesucht wäre - also die, die Du in Deinem Plot markiert hattest. So wars aber nicht.)
Übrigens schriebst Du in Deiner ursprünglichen Anfrage über den Kreis, dass sein Mittelpunkt bei i liege. Das war sicher nur ein Versehen, denn geplottet hast Du ja richtig mit Mittelpunkt in -i.
> Vielen Dank, nochmal nachgedacht und angeguckt und verstanden :o)
Prima. Dann macht es ja doch Sinn, sich in diesem Forum zu engagieren.
lg
rev
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