Sn isomorph zu Restklassenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Finde jeweils eine Untergruppe der [mm] S_{4}, [/mm] welche isomorph zu folgender Gruppe ist:
[mm] \IZ/2\IZ, \IZ/3\IZ, \IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ, [/mm] {e}, [mm] S_{3}, D_{4}, A_{4}, S_{4} [/mm] |
Hallo,
ich verstehe nicht, wie eine Symmetriegruppe zu einem Restklassenring isomorph seien kann. Ich kann mir darunter einfach nichts vorstellen.
Kann mir vielleicht jemand ein Beispiel angeben, indem mir das klarer wird?
Vielen Dank & Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 21.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
vlt. wärs gar nicht so schlecht, dir mal sämtliche Elemente der S4 aufzuschreiben, dann fällt dir die Aufgabe vlt. leichter.
Zum Beispiel [mm] \IZ2\IZ: [/mm] diese Gruppe hat genau zwei Elemente {e,a} wobei [mm] a^2 [/mm] = e gilt. Welche Elemente in [mm] S_n [/mm] haben denn Ordnung 2? Diese erzeugen dann eine Gruppe der Ordnung 2. Da es nur eine Gruppe der Ordnung 2 gibt. Sind alle Gruppen der Ordnung 2 isomorph zu eben dieser.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Pauli85 |
> Zum Beispiel [mm]\IZ2\IZ:[/mm] diese Gruppe hat genau zwei Elemente
> {e,a} wobei [mm]a^2[/mm] = e gilt.
Das verstehe ich auch nicht so ganz. Der Restklassenring [mm] \IZ/2\IZ [/mm] hat doch die Elemente [0] und [1] mit [a]:={a+2*k|k [mm] \in \IZ\} [/mm] und a [mm] \in [/mm] {0,1}. Und [mm] [1]^{2} [/mm] = [1], oder nicht?
Oder verstehe ich das ganze komplett falsch?
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Hallo,
> > Zum Beispiel [mm]\IZ2\IZ:[/mm] diese Gruppe hat genau zwei Elemente
> > {e,a} wobei [mm]a^2[/mm] = e gilt.
>
> Das verstehe ich auch nicht so ganz. Der Restklassenring
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] hat doch die Elemente [0] und [1] mit
> [a]:={a+2*k|k [mm] \in \IZ} [/mm] und a [mm]\in[/mm] {0,1}. Und [mm][1]^{2}[/mm] = [1],
> oder nicht?
> Oder verstehe ich das ganze komplett falsch?
Nein, du liegst richtig.
teo meinte auch etwas anderes, glaube ich.
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 2\IZ$ [/mm] soll ja hier als Gruppe bzgl. der Addition aufgefasst werden, und dann gilt das Gewünschte mit den Identifikationen
$0 [mm] \in \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ$ [/mm] <--> $id [mm] \in S_4$
[/mm]
$1 [mm] \in \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ$ [/mm] <--> $(1,2) [mm] \in S_4$
[/mm]
(insbes. entspricht 1 + 1 = 0 der Komposition $(1,2) [mm] \circ [/mm] (1,2) = id$).
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Danke für die Hilfe.
Ich bin jetzt so weit:
[mm] \IZ/2\IZ \cong S_{2}={e,(12)}
[/mm]
[mm] \IZ/3\IZ \cong [/mm] <(123)>={e,(123),(132)}
[mm] \IZ/4\IZ \cong [/mm] <(1234>={e,(1234),(13)(24),(1432)}
[mm] D_{4} \cong [/mm] <(12)(34),(1234)>
[mm] S_{3} \cong [/mm] <(13),(123)>
{e} [mm] \cong [/mm] {e} und
[mm] S_{4} \cong S_{4} [/mm] ist trivial nehme ich an
Aber was ist [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ? [/mm] Ich weiß auch nicht so ganz was es als Gruppe bedeuten soll. Evtl. die "Verknüpfung" der Elemente mod 2? Also 0 * 0 mod 2, 0 * 1 mod 2, 1 * 0 mod 2 und 1 * 1 mod 2?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 25.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
[mm] \IZ2 [/mm] x [mm] \IZ2 [/mm] ist isomorph zur [mm] V_4. [/mm] Diese Gruppe ist dir bekannt oder?
Grüße
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