Sobolevraum ist Lipschitzsteti < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 21.12.2010 | | Autor: | snarzhar |
| Aufgabe | Sei [mm] Q\subset \IR^{n} [/mm] offen und beschrenkt mit [mm] C^{1}-Rand. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] W^{1,\infty}(Q) \subset C^{0,1}(\overline{Q})
[/mm]
) |
Als Tipp wurde gesagt, dass wir die Aussage erst für glatte Funktionen beweisen sollen.
Wenn die Funktionen in [mm] W^{1,\infty}(Q) [/mm] liegt, dann besitzt sie die schwache Ableitung erster Ordnung, die in jeder Lp-Norm endlich ist, dann heisst es, dass die Ableitung beschränkt ist auf Q und die Funktion ist Lipschitzstetig, somit haben wir, dass die Funktion in [mm] C^{0,1}(Q) [/mm] liegt, aber in der Angabe steht, sie soll in [mm] C^{0,1}(\overline{Q}) [/mm] liegen. Was mich interessiert ist nun eben - ob es überhaupt stimmt, und wie ich von glatten Funktionen den übergang zu den schwach differenzierbaren Funktionen machen soll.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
falls die Antwort noch jemanden interessiert: solche aussagen kann man
meist sehr schön über den hdi (hauptsatz der diff.- un dint.-rechnung) beweisen. Nimm erstmal $n=1$ an und dass die funktion $f$ glatt ist.
Dann ist doch
[mm]
|f(x)-f(y)|=\left | \int_x^y f'(s) ds\right |\le |x-y| \|f'\|_{\infty}
[/mm]
Analog kann man auch die Beschränktheit von f zeigen. Der übergang von glatten zu beliebigen funktionen ist dann auch nicht schwer. Du hast eine folge von glatten funktionen, die in [mm] $W^{1,\infty}$ [/mm] gegen eine funktion konvergiert. für jede der folgefunktionen gelten die besagten abschätzungen. Konvergenz in [mm] $L^\infty$ [/mm] ist aber konvergenz punktweise fast überall, du kannst also f.ü. pktweise zum grenzwert übergehen.
Für mehrdimensionale funktionen sollte es eigentlich analog mit partiellen ableitungen klappen.
Gruss
Matthias
> Sei [mm]Q\subset \IR^{n}[/mm] offen und beschrenkt mit [mm]C^{1}-Rand.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]W^{1,\infty}(Q) \subset C^{0,1}(\overline{Q})[/mm]
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> )
> Als Tipp wurde gesagt, dass wir die Aussage erst für
> glatte Funktionen beweisen sollen.
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> Wenn die Funktionen in [mm]W^{1,\infty}(Q)[/mm] liegt, dann besitzt
> sie die schwache Ableitung erster Ordnung, die in jeder
> Lp-Norm endlich ist, dann heisst es, dass die Ableitung
> beschränkt ist auf Q und die Funktion ist Lipschitzstetig,
> somit haben wir, dass die Funktion in [mm]C^{0,1}(Q)[/mm] liegt,
> aber in der Angabe steht, sie soll in [mm]C^{0,1}(\overline{Q})[/mm]
> liegen. Was mich interessiert ist nun eben - ob es
> überhaupt stimmt, und wie ich von glatten Funktionen den
> übergang zu den schwach differenzierbaren Funktionen
> machen soll.
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> Danke!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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