matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKnobelaufgabenSommerloch
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Knobelaufgaben" - Sommerloch
Sommerloch < Knobelaufgaben < Café VH < Internes < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Knobelaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Sommerloch: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Fr 15.07.2011
Autor: fred97

Aufgabe
Es sei $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig , es $f [mm] \ge [/mm] 0$ auf [0,1] und es gelte

        [mm] $f(t)^2 \le \integral_{0}^{t}{f(s) ds}$ [/mm]   für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$.

Man zeige:

        $f(t) [mm] \le [/mm] 1+t$ für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$.


Gruß FRED mit der üblichen Bitte an die Mods.

        
Bezug
Sommerloch: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:56 Fr 15.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

ich versuchs mal.

Also wenn $f [mm] \equiv [/mm] 0$, dann ist die Sache klar, da $ 0 [mm] \leq [/mm] 1+t [mm] \; \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,1] $.

Sei jetzt $f$ nicht die Nullfunktion, dann besitzt $f$ aufgrund der Stetigkeit auf $[0,1]$ ein Maximum $M>0$ (wegen [mm] $f\geq [/mm] 0$) und nimmt dieses auch an, dass heißt, es existiert ein [mm] $t_{1} \in [/mm] (0,1] $ sodass [mm] $f(t_{1})=M$. [/mm]

Die Null kann für [mm] $t_{1}$ [/mm] ausgeschlossen werden, da gilt [mm] $f(0)^2 \leq \integral_{0}^{0}{f(s) ds}=0$ [/mm] also $f(0)=0$. $f$ wäre dann die Nullfunktion wegen $f [mm] \geq [/mm] 0$

Angenommen es existiert ein [mm] $t_{0} \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $f(t_{0})>1+t_{0}$, [/mm] dann folgt, [mm] $M=\max_{t \in [0,1]}{f(t)}>1$. [/mm]

Also gilt [mm] $1
Also ist M<M, ein Widerspruch.

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 Fr 15.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> Also wenn [mm]f \equiv 0[/mm], dann ist die Sache klar, da [mm]0 \leq 1+t \; \forall t \in [0,1] [/mm].
>
> Sei jetzt [mm]f[/mm] nicht die Nullfunktion, dann besitzt [mm]f[/mm] aufgrund
> der Stetigkeit auf [mm][0,1][/mm] ein Maximum [mm]M>0[/mm] (wegen [mm]f\geq 0[/mm])
> und nimmt dieses auch an, dass heißt, es existiert ein
> [mm]t_{1} \in (0,1][/mm] sodass [mm]f(t_{1})=M[/mm].
>
> Die Null kann für [mm]t_{1}[/mm] ausgeschlossen werden, da gilt
> [mm]f(0)^2 \leq \integral_{0}^{0}{f(s) ds}=0[/mm] also [mm]f(0)=0[/mm]. [mm]f[/mm]
> wäre dann die Nullfunktion wegen [mm]f \geq 0[/mm]
>  
> Angenommen es existiert ein [mm]t_{0} \in [0,1][/mm] mit
> [mm]f(t_{0})>1+t_{0}[/mm], dann folgt, [mm]M=\max_{t \in [0,1]}{f(t)}>1[/mm].
>  
> Also gilt [mm]1
>  
> Also ist M<M, ein Widerspruch.

sieht fuer mich richtig aus. Aber wuerde man damit nicht gleich zeigen, dass $f(t) [mm] \le [/mm] 1$ gilt fuer $t [mm] \in [/mm] [0, 1]$? Sobald $f(t) > 1$ waer fuer ein $t [mm] \in [/mm] [0, 1]$, waer auch $M = [mm] \max_{x\in[0,1]} [/mm] f(x) > 1$ und man koennte dein Argument genauso verwenden.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:56 Sa 16.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

ja das ist dasselbe, denk ich mal

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Sa 16.07.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ja das ist dasselbe, denk ich mal

Hallo Blasco, hallo Felix,

Blasco hat die Aufgabe prima gelöst und es ist f [mm] \le [/mm] 1 auf [0,1].

Allerdings habe ich einen Fehler in der Aufgabenstellung gemacht, dafür entschuldige ich mich und werde am Montag die richtige Aufgabenstellung nachliefern (was ich momentan nicht kann, weil ich an einem anderen Rechner sitze als sonst)

Gruß FRED

>  
> Viele Grüße
>  Blasco


Bezug
        
Bezug
Sommerloch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Sa 16.07.2011
Autor: ullim

Hi,

Sei [mm] F(t)=\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] dann gilt wegen [mm] f\ge{0} [/mm] auf [0,1] auch

[mm] F\ge{0} [/mm] und [mm] F'\ge{0} [/mm] also F monoton wachsend auf [0,1]

Es gilt weiter nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung

[mm] F(t)=t*f(\tau) [/mm] für ein [mm] \tau\in[0,t] [/mm] also [mm] F^2(t)=t^2*f^2(\tau)\le t^2*F(\tau)\le t^2*F(t) [/mm] also

[mm] F(t)*\left(F(t)-t^2\right)\le{0} [/mm] also [mm] F(t)\le t^2 [/mm] wegen [mm] F\ge{0} [/mm]

Außerdem gilt

[mm] f^2(t)\le F(t)=t*f(\tau)\le t*\wurzel{F(\tau)}\le t*\wurzel{F(t)}\le t^2 [/mm]

also [mm] f(t)\le{t} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 So 12.02.2012
Autor: felixf

Moin,

um das ganze mal zu einem Abschluss zu bringen:

> Sei [mm]F(t)=\integral_{0}^{t}{f(s) ds}[/mm] dann gilt wegen [mm]f\ge{0}[/mm]
> auf [0,1] auch
>  
> [mm]F\ge{0}[/mm] und [mm]F'\ge{0}[/mm] also F monoton wachsend auf [0,1]
>  
> Es gilt weiter nach dem Mittelwertsatz der
> Integralrechnung
>  
> [mm]F(t)=t*f(\tau)[/mm] für ein [mm]\tau\in[0,t][/mm] also
> [mm]F^2(t)=t^2*f^2(\tau)\le t^2*F(\tau)\le t^2*F(t)[/mm] also
>  
> [mm]F(t)*\left(F(t)-t^2\right)\le{0}[/mm] also [mm]F(t)\le t^2[/mm] wegen
> [mm]F\ge{0}[/mm]
>  
> Außerdem gilt
>  
> [mm]f^2(t)\le F(t)=t*f(\tau)\le t*\wurzel{F(\tau)}\le t*\wurzel{F(t)}\le t^2[/mm]
>  
> also [mm]f(t)\le{t}[/mm]  

Sieht gut aus, ich kann keinen Fehler entdecken.

LG Felix



Bezug
        
Bezug
Sommerloch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 16.07.2011
Autor: fred97

So, hier ist die Aufgabe, wie sie eigentlich gemeint war:

Es sei $ f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ stetig , es $ f [mm] \ge [/mm] 0 $ auf [0,1] und es gelte

        $ [mm] f(t)^2 \le 1+2*\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] $   für alle $ t [mm] \in [/mm] [0,1] $.

Man zeige:

        $ f(t) [mm] \le [/mm] 1+t $ für alle $ t [mm] \in [/mm] [0,1] $.

FRED

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Mo 18.07.2011
Autor: fred97


> So, hier ist die Aufgabe, wie sie eigentlich gemeint war:
>  
> Es sei [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] stetig , es [mm]f \ge 0[/mm] auf [0,1] und es
> gelte
>  
> [mm]f(t)^2 \le 1+2*\integral_{0}^{t}{f(s) ds}[/mm]   für alle [mm]t \in [0,1] [/mm].
>  
> Man zeige:
>  
> [mm]f(t) \le 1+t[/mm] für alle [mm]t \in [0,1] [/mm].
>
> FRED




Ist ein Hinweis erwünscht ?

FRED



Bezug
                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Mo 18.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

also ich nehm einen.^^

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Mo 18.07.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> also ich nehm einen.^^
>  
> Viele Grüße
>  Blasco


Hallo Blasco,

setze   $ g(t)= [mm] 1+2\cdot{}\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] $  und $h(t)= [mm] \wurzel{g(t)}$ [/mm]  für $t [mm] \in [/mm] [0,1]$.

Differenziere g und zeige (mit dem Hauptsatz der Diff. - und Integralrechnung):

                 $h(t)-1 [mm] \le [/mm] t$

Gruß FRED





Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:59 Mo 18.07.2011
Autor: blascowitz

Hallo,

der Hinweis war wirklich hilfreich.

Also setze [mm] $g(t)=1+2\cdot \int_{0}^{t} [/mm] f(s) ds$ und [mm] $h(t)=\sqrt{g(t)}$. [/mm] Dann gilt $h(0)=1$.

Weiter ist $ [mm] g'(t)=2\cdot [/mm] f(t) $, also ist [mm] h'(t)=\frac{g'(t)}{2\cdot \sqrt{g(t)}}=\frac{f(t)}{\sqrt{g(t)}}. [/mm]

Es ist also [mm] $h(t)-1=\int_{0}^{t} [/mm] h'(s) ds =  [mm] \int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} [/mm] ds $.

Da für $a,b [mm] \geq [/mm] 0$ gilt $a [mm] \leq [/mm] b [mm] \gdw a^2 \leq b^2$, [/mm] folgt aus $ [mm] f(t)^2 \le 1+2\cdot{}\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] $ das $f(t) [mm] \leq \sqrt{g(t)}$. [/mm]

Also ist [mm] $h(t)-1=\int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} [/mm] ds [mm] \leq \int_{0}^{t} [/mm]  1 ds =t $

Das ist die Behauptung

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Mo 18.07.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> der Hinweis war wirklich hilfreich.
>  
> Also setze [mm]g(t)=1+2\cdot \int_{0}^{t} f(s) ds[/mm] und
> [mm]h(t)=\sqrt{g(t)}[/mm]. Dann gilt [mm]h(0)=1[/mm].
>
> Weiter ist [mm]g'(t)=2\cdot f(t) [/mm], also ist
> [mm]h'(t)=\frac{g'(t)}{2\cdot \sqrt{g(t)}}=\frac{f(t)}{\sqrt{g(t)}}.[/mm]
>  
> Es ist also [mm]h(t)-1=\int_{0}^{t} h'(s) ds = \int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} ds [/mm].
>  
> Da für [mm]a,b \geq 0[/mm] gilt [mm]a \leq b \gdw a^2 \leq b^2[/mm], folgt
> aus [mm]f(t)^2 \le 1+2\cdot{}\integral_{0}^{t}{f(s) ds}[/mm] das
> [mm]f(t) \leq \sqrt{g(t)}[/mm].
>  
> Also ist [mm]h(t)-1=\int_{0}^{t} \frac{f(s)}{\sqrt{g(s)}} ds \leq \int_{0}^{t} 1 ds =t[/mm]
>  
> Das ist die Behauptung

Prima gemacht

FRED

>  
> Viele Grüße
>  Blasco


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Knobelaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]