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Sommerloch: Zahlensystem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Sa 16.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Die Bewohner des Planeten Triskelos benützen ein Zahlensystem, in welchem sie so auf zehn zählen:

    po, pona, poti, popo, ponana, ponati, ponapo, potina, potiti, potipo

a) Wie lauten in diesem System die Dezimalzahlen 11 , 19 und 25 ?

b) Wie lauten die Zahlen 0, -11, -19 und -25 ?

c) Zeige, wie man auf Triskelos addiert, subtrahiert und multipliziert
   an den Beispielen  $\ 8+19\ =\ \ [mm] ?\qquad [/mm]  8-19\ =\ \ [mm] ?\qquad [/mm]   8*19\ =\ \ ?$


   Es handelt sich hier um eine Übungsaufgabe für alle Interessierten.

        
Bezug
Sommerloch: Dummyfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:19 Sa 16.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Dummyfrage

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 31.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Sommerloch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Sa 16.07.2011
Autor: Schadowmaster

zuerst einmal eine kleine Frage, nur damit ich nicht ganz in die falsche Richtung überlege:

11 = popona
19 = ponatipo
25 = ponananapo

Sind die drei soweit richtig oder habe ich da ein komplett falsches System zu Grunde gelegt?

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Sa 16.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


>  11 = popona          [mm] \red{\checkmark} [/mm]
>  19 = ponatipo        [mm] \red{\checkmark} [/mm]
>  25 = ponananapo      [notok]

Das letzte Ergebnis ist um ponatiti daneben ...  ;-)

LG  Al


Bezug
                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Sa 16.07.2011
Autor: Schadowmaster

Ah ja klar, 25 = potinapo ^^

Jetzt kann ich zumindest schonmal einen Rechenschieber auf dem Planeten bedienen, fehlen "nur" noch ein paar Rechenregeln, die nicht aus bloßem abzählen bestehen. xD

edit:
Und gleich noch ein Happen der Lösung:
Haben wir eine Zahl in diesem kranken System dann kriegt man mit folgendem Algorithmus den Wert der Zahl, also wandelt die Zahl ins Dezimalsystem um:

1. Das führende "po" wegfallen lassen.
2. "Ziffern" ersetzen: na = 1, ti = 2, po = 3
3. Zahl als Zahl im Dreiersystem betrachten
4. ins Dezimalsystem umwandeln
5. +1

Also mal am Beispiel:
potipo -> tipo->23 -> 100 (*) -> 9 -> 10

Erklärung zum *: betrachten wir 23 im Dreiersystem so haben wir einen Übertrag, es ist also 23 = 30 = 100.

Nun kann man ganz normal im Dezimalsystem rechnen.
Einziges verbliebenes Problem ist es unsere Zahlen in deren Zahlen umzuwandeln, denn leider haben die bösen Triskelonen scheinbar noch nie etwas von der Ziffer 0 gehört...
(Also ihr System funktioniert so als würde bei uns im Dezimalsystem nach der 9 sofort die 11 kommen...)

Aber das ist sicher auch noch zu knacken.^^

Bezug
                                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 So 17.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ah ja klar, 25 = potinapo ^^
>  
> Jetzt kann ich zumindest schonmal einen Rechenschieber auf
> dem Planeten bedienen, fehlen "nur" noch ein paar
> Rechenregeln, die nicht aus bloßem abzählen bestehen. xD
>  
> edit:
>  Und gleich noch ein Happen der Lösung:
>  Haben wir eine Zahl in diesem kranken System dann kriegt
> man mit folgendem Algorithmus den Wert der Zahl, also
> wandelt die Zahl ins Dezimalsystem um:
>  
> 1. Das führende "po" wegfallen lassen.
>  2. "Ziffern" ersetzen: na = 1, ti = 2, po = 3
>  3. Zahl als Zahl im Dreiersystem betrachten
>  4. ins Dezimalsystem umwandeln
>  5. +1
>  
> Also mal am Beispiel:
>  potipo -> tipo->23 -> 100 (*) -> 9 -> 10

>  
> Erklärung zum *: betrachten wir 23 im Dreiersystem so
> haben wir einen Übertrag, es ist also 23 = 30 = 100.
>  
> Nun kann man ganz normal im Dezimalsystem rechnen.
>  Einziges verbliebenes Problem ist es unsere Zahlen in
> deren Zahlen umzuwandeln, denn leider haben die bösen
> Triskelonen scheinbar noch nie etwas von der Ziffer 0
> gehört...
>  (Also ihr System funktioniert so als würde bei uns im
> Dezimalsystem nach der 9 sofort die 11 kommen...)
>  
> Aber das ist sicher auch noch zu knacken.^^


Oh je ...  und ich hatte doch schon gedacht, dass du dem
Ganzen wirklich auf der Spur seiest. Aber jetzt nennst du
das ein "krankes" System !
(ich bin mir aber ziemlich sicher, dass du deine diesbe-
zügliche Meinung noch ändern wirst)

Es ist deutlich einfacher als du denkst ...

... und was die Null und die negativen Zahlen betrifft,
da können uns die Triskelonen noch einiges vormachen !

Gruß

Al-Chwarizmi


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Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 So 17.07.2011
Autor: wieschoo


>  
> 1. Das führende "po" wegfallen lassen.

Was machst du bei der 1?

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Bezug
Sommerloch: Lob, Lob!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:35 So 17.07.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

mitten in anderer Arbeit muss ich doch mal ein paar Zwischenüberlegungen abgeben - der Versuch von Schadowmaster ist ja schon ganz gut, aber ich würde folgenden Ansatz eher verfolgen wollen.

Natürlich handelt es sich um ein 3-adisches System, allerdings mit etwas anderen Ziffernwerten als den uns sonst gewohnten:

> Die Bewohner des Planeten Triskelos benützen ein
> Zahlensystem, in welchem sie so auf zehn zählen:
>  
> po, pona, poti, popo, ponana, ponati, ponapo, potina,
> potiti, potipo
>  
> a) Wie lauten in diesem System die Dezimalzahlen 11 , 19
> und 25 ?

Die Lösungen sind ja bereits ermittelt:
11=popona
19=ponatipo
25=potinapo

Dabei würde ich die Umrechnung allerdings anders angehen.

Es sei na=-1, ti=0, po=1.
Das Stellensystem funktioniert wie bei uns ein 3-adisches, also die Einerstelle ist mal [mm] 3^0 [/mm] zu nehmen, die davor stehende mal [mm] 3^1 [/mm] etc.

Am Beispiel 25 also: [mm] 1*3^3+0*3^2+(-1)*3^1+1*3^0=potinapo_{trisk} [/mm]

> b) Wie lauten die Zahlen 0, -11, -19 und -25 ?

0=ti
-11=nanapo
-19=napotina
-25=natipona

> c) Zeige, wie man auf Triskelos addiert, subtrahiert und
> multipliziert
>     an den Beispielen  [mm]\ 8+19\ =\ \ ?\qquad 8-19\ =\ \ ?\qquad 8*19\ =\ \ ?[/mm]

Vorab die schöne Beobachtung, die auch leicht zu zeigen ist: die Multiplikation mit (-1) geschieht einfach, indem man jedes "na" durch "po" ersetzt und umgekehrt. Alle "ti" bleiben stehen.

Außerdem beginnen alle positiven Zahlen mit po, alle negativen mit na. Die Null ist weder positiv noch negativ, sondern heißt ti.

Vorab:

8+19=potina+ponatipo=potititi=27
8-19=potina+napotina=nanapo=-11
8*19=potina*ponatipo=ponatinapo=152

Die Rechenregeln sind natürlich folgende.

Addition:
na+na=napo
na+ti=na
na+po=ti
ti+na=na
ti+ti=ti
ti+po=po
po+na=ti
po+ti=po
po+po=pona

Multiplikation:
na*na=po
na*ti=ti
po*ti=ti
po*na=na
ti*ti=ti
po*po=po

Damit lässt sich sowohl die Addition als auch die Multiplikation beliebiger positiver und negativer Zahlen ohne "Vorzeichen" (die auf Triskelon ja nie nötig waren) genauso ausführen wie bei uns die Rechnung mit rein positiven Zahlensystemen.

> Es handelt sich hier um eine Übungsaufgabe für alle
> Interessierten.

Na, wenn das mal nicht eher eine sehr schön ersonnene Knobelaufgabe ist. ;-)

Grüße
reverend



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Bezug
Sommerloch: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 So 17.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

[daumenhoch]

Hallo reverend,

genau so ist dieses Zahlensystem gedacht. Es hatte
übrigens auch ein kurzes Leben in ponatinana irdischen
Computern der ersten Generation.

Lieben Gruß
Al



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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 So 17.07.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

fünfzig sind nicht gerade wenig. Eigentlich schade, dass sich das nicht durchgesetzt hat, vielleicht wären wir die Logik des "tertium non datur" dabei gleich mit losgeworden.

Du kennst im übrigen wahrscheinlich folgendes:

There are only 10 kinds of people: those who understand binary, and those who don't.

Grüße
reverend


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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 So 17.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> fünfzig sind nicht gerade wenig.

Genau. Heute wäre das ein Klacks, aber damals waren
Computer noch Zimmer füllende Kästen, die nur an ganz
speziellen Instituten zum Einsatz kamen.

> Eigentlich schade, dass
> sich das nicht durchgesetzt hat, vielleicht wären wir die
> Logik des "tertium non datur" dabei gleich mit
> losgeworden.

Gebaut wird solche Hardware wohl kaum mehr werden,
aber man kann einen ternären natürlich auf einem
binären Computer emulieren.

> Du kennst im übrigen wahrscheinlich folgendes:
>  
> There are only 10 kinds of people: those who understand
> binary, and those who don't.

Jetzt dachte ich schon: "those who understand binary, those
who don't, and Triskelons !"

LG    Al


Bezug
                                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 So 17.07.2011
Autor: wieschoo

Aber es gibt diese:
http://ternary.3neko.ru/photo/setun70_small.jpg

Ist wahrscheinlich schon ein kompakteres Modell.

Bezug
        
Bezug
Sommerloch: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 So 17.07.2011
Autor: wieschoo

Da kann ich jetzt es ja wieder rückgängig machen (zur version V2):
----------------------------------------------------------------------------------
Ich setze
po=1
ti=0
na=-1

Triskelos -> Dezimal

Dreierpotenzen hinschreiben und die Silben als Vorzeichen benutzen
$popo = [mm] 1*3^1+1*3^0=3+1=4$ [/mm]
$ponapo = [mm] 1*3^2+(-1)*3^1+1*3^0=9-3+1=7$ [/mm]

Dezimal -> trikelos
kommt noch.

Addition
na+na = napo
na + po= ti
ti + na = na
ti + po = po
ti + ti = ti

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: richtig erkannt !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 So 17.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

(unsichtbar)
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Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 So 17.07.2011
Autor: wieschoo

Ich habe es in Matlab ohne Logarithmus hinbekommen.
http://files.wieschoo.com/triskelos.p

und unter
http://werkzeuge.wieschoo.com/tester.php?n=3333

Bezug
                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:30 So 17.07.2011
Autor: wieschoo


> Ein Beispiel:
>  
> dectotri(3333333) = "ponatiponapopotitipopoponapoti"
>  
> Jetzt befürchte ich fast, dass die Aufgabe in dieser
>  Gestalt für die Verwendung im Unterricht in der Schule
> etwas heikel ist wegen der unvermeidlichen Assoziationen,
> die zu großem Gelächter, aber allenfalls auch zu
> Anschul-
>  digungen wegen verbaler s. Belästigung führen könnten

Sei froh, dassdu nicht "po", "ka", ... genommen hast.
Wie wäre es mit "lu","na","ti"? Das weckt keine Assoziationen.

Bezug
                                
Bezug
Sommerloch: Lulu
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 So 17.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei froh, dass du nicht "po", "ka", ... genommen hast.
> Wie wäre es mit "lu","na","ti"? Das weckt keine
> Assoziationen.

bei mir schon:   Lunatic Lulu's titties ?

;-)   Al

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Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 So 17.07.2011
Autor: Schadowmaster

Schüler kriegen aus allem eine böse Assoziation hin, sei es die Anal-ysis oder bei Standardaufgaben im a) richtig, b) falsch, c) richtig,... Muster als Lösung Haken-Kreuz-Haken-Kreuz-... stehen zu haben (beides mehrfach in meiner Schulzeit erlebt).
Also darum würde ich mir an deiner Stelle keine Sorgen machen.

bzw. wenn solche Wörter bei dir bereits als verbale Belästigung gewertet werden dann musst du ja verdammt brave Kinder da haben... xD

Davon abgesehen @ Al: Wirklich schöne Aufgabe, und das mit dem kranken System war nicht böse gemeint, eher - hmm, richtiges Wort suchen - frusziniert.^^

Bezug
                                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 So 17.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


>  Schüler kriegen aus allem eine böse Assoziation hin ...

>  Also darum würde ich mir an deiner Stelle keine Sorgen
>  machen.

Mach ich mir ja auch nicht - das war nur Spaß.
  

> Davon abgesehen @ Al: Wirklich schöne Aufgabe, und das mit
> dem kranken System war nicht böse gemeint, eher - hmm,
> richtiges Wort suchen - frusziniert.^^

Danke. Die Idee des potina-Systems hatte ich schon vor
vielen Jahren; die Kommunikation mit den Bewohnern des
Exoplaneten Triskelos habe ich aber erst gerade aufgenommen.
Zuerst war es sehr schwierig, ihre Messages überhaupt zu
entziffern ...

Gruß    Al


Bezug
                                                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 So 17.07.2011
Autor: wieschoo

Die haben das System aber auch von den Einwohner mit dem System "balanced ternary number system" geklaut.

Es geht vielleicht auch:
"lo","na","ku"


Bezug
        
Bezug
Sommerloch: Multiplikation, Ternärcomputer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Mo 18.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Rätselfreunde

um die Addition und Multiplikation von mehrstelligen
triskelonischen Zahlen hat sich bisher keiner der Ant-
wortenden gekümmert. Ich möchte deshalb an einem
Beispiel zeigen, wie angenehm diese Operationen auf
Triskelos sind.

Beispiel:     73*(-294) = ?

deutsch:      dreiundsiebzig mal minus zweihundertvierundneunzig

französisch:  soixante-treize fois moins deux cents quatre-vingt-quatorze

triskelonisch:  
.                 po ti na ti po * na na po ti po ti
.                ___________________________________
.                                  na na po ti po ti
.                                              ti
.                            po po na ti na ti
.                                        ti
.                      na na po ti po ti
.                         po                             (Übertrag)  
.                ___________________________________

.                      na ti na po na na ti ti po ti
.                      _____________________________  


deutsch:      minus einundzwanzigtausendvierhundertzweiundsechzig

französisch:  moins vingt-et-un mille quatre cents soixante-deux


Großer Vorteil dieses Rechensystems: die elementaren
Multiplikationen einer mehrstelligen Zahl mit einer ein-
stelligen sind wirklich elementar. Man muss nicht ständig
Überträge von einer Stelle auf die nächstvordere machen
wie etwa beim schriftlichen Multiplizieren im Dezimalsystem,
wo im Beispiel die Multiplikation 7*294 so ginge:

     7*4=28; schreibe 8, behalte 2
     7*9=63; 63+2=65; schreibe 5, behalte 6
     7*2=14; 14+6=20; schreibe 0, behalte 2
     keine weitere Stelle vorhanden, also schreibe 2
     Ergebnis:  7*294=2058

Im triskelonischen System geht eine entsprechende
Teilrechnung zum Beispiel so ("schwierigste" Variante):

           na * na na po ti po ti = ?

     Ergebnis:  po po na ti na ti

Man kann das Ergebnis sofort hinschreiben; man muss
nur alle "po" durch "na" ersetzen und alle "na" durch "po".
In der unten dargestellten Symbolschrift kann man einfach
typografisch die Zahl an der Horizontalen spiegeln.

Ein eigentliches "Einmaleins" zu lernen ist überflüssig,
bzw. dieses ist so simpel, dass man gar nicht merkt, dass
es überhaupt eines ist ... Bei der Berechnung der Summen
in den einzelnen Kolonnen hat man den Vorteil, dass sich
die einzelnen Summanden oft gegenseitig aufheben und
dass es deswegen auch nur selten Überträge gibt.
In diesem Beispiel nur ein einziges Mal.


Natürlich kann man für po, ti, na auch Kurzsymbole einführen,
etwa  [mm] \top [/mm] , [mm] \sf{O} [/mm] , [mm] \bot [/mm] .
Damit sieht obige Rechnung dann so aus:

.                 [mm] \top \sf{O} \bot \sf{O} \top [/mm] * [mm] \bot \bot \top \sf{O} \top \sf{O} [/mm]
.                 ________________
.                          [mm] \bot \bot \top \sf{O} \top \sf{O} [/mm]
.                               [mm] \sf{O} [/mm]
.                        [mm] \top \top \bot \sf{O} \bot \sf{O} [/mm]
.                             [mm] \sf{O} [/mm]
.                      [mm] \bot \bot \top \sf{O} \top \sf{O} [/mm]
.                       [mm] $\blue{\, \top}$ [/mm]
.        
.                   ________________

.                      [mm] \bot \sf{O} \bot \top \bot \bot \sf{O} \sf{O} \top \sf{O} [/mm]
.                      ____________

(Jetzt hoffe ich, dass das so mühsam Gesetzte nicht wieder
total verrutscht ...)

Dass dieses Zahlensystem - man nennt es "offiziell" das
balancierte ternäre System - auch gegenüber dem in der
Computerwelt herrschenden Binärsystem eine ganze Reihe
wesentlicher Vorteile hat, war schon einigen frühen Pionieren
der russischen (sowjetischen) Computertechnik bewusst.
Sie konstruierten in den 1950-er Jahren den auf diesem
Zahlensystem aufbauenden Computer "Setun", der sehr
zuverlässig war und weniger Wartungsarbeiten erforderte
als die binären Computer.
[]NZZ-Artikel
(in dem Artikel ist allerdings ein Fehler, weil dort von
einem Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und 2  anstatt
0, 1 und -1 gesprochen wird)

LG    Al-Chwarizmi

Bezug
        
Bezug
Sommerloch: Umrechnungsprogramm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Mo 18.07.2011
Autor: Leopold_Gast

Das ist eine sehr schöne Aufgabe. Sie hat mich gleich inspiriert, ein kleines Umrechnungsprogramm zu schreiben.

[a]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: exe) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Sommerloch: deztotri (Voyage 200, TI-89)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mo 18.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Das ist eine sehr schöne Aufgabe. Sie hat mich gleich
> inspiriert, ein kleines Umrechnungsprogramm zu schreiben.


Mit .exe kann ich als hartnäckiges Apfelmännchen
leider nichts anfangen. Hier meine Funktion
"dezdotri" für den Voyage 200 , die zu einer
Dezimalzahl die triskelonische Zahl berechnet.
Verstehen kann das Programm wohl auch, wer den
Voyage nicht kennt:

: deztotri(x)
: Func
: Local r,s,t,z
: "" [mm] \to [/mm] s              (s ist Stringvariable)
: x [mm] \to [/mm] z
: While z≠0
: mod(z,3) [mm] \to [/mm] r
: If r=2 Then : "na" [mm] \to [/mm] t : -1 [mm] \to [/mm] r : Endif
: If r=1 Then : "po" [mm] \to [/mm] t : Endif
: If r=2 Then : "ti" [mm] \to [/mm] t : Endif
: t&s [mm] \to [/mm] s             (& hängt zwei Strings aneinander)
: (z-r)/3 [mm] \to [/mm] z
: EndWhile
: Return s
: EndFunc

Beispiel:   deztotri(1000)     "popotipotitipo"

Die umgekehrte Umrechnung (tritodez) ist eigentlich
trivial - abgesehen von der Zerlegung des gegebenen
Strings wie z.B. "popotipotitipo".

LG    Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:30 So 31.07.2011
Autor: Eisfisch


> Die umgekehrte Umrechnung (tritodez) ist eigentlich
>  trivial - abgesehen von der Zerlegung des gegebenen

?? trivial ??

Nanu, welche Zahl liegt denn hier vor???
Naja,  is wohl ein Ort auf Triskelos .... . .. . .    ..     .      .        .  


Sg Ef.

Bezug
                
Bezug
Sommerloch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 Mo 18.07.2011
Autor: reverend

Hallo Leopold,

> Das ist eine sehr schöne Aufgabe. Sie hat mich gleich
> inspiriert, ein kleines Umrechnungsprogramm zu schreiben.
>  
> [a]

Wunderbar, vielen Dank. Auf den Bill-Gates-Maschinen läuft es, und meine Virenscanner finden nichts Bedenkliches, außer dass die Datei ausführbar ist. Soll sie ja auch sein. ;-)

Grüße
reverend


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