Sonderfall Steigung v. Parabel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 01:35 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Eddy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Achtung: Ich habe das Problem bereits selber gelöst
Achtung: Das Problem ist Teil einer Facharbeit über das Kurvenintegral.
Ich habe versucht eine allgemeine Funktion für ein stetig differenzierbares Intervall [a,b] zu finden, die die Länge von n Sekanten beschreibt. Quasi f a,b (n), wobei a und b Parameter sind.
Es hakt jedoch an einigen Stellen, weil ich entsprechende Teile gar nicht aus der Formel extrahieren kann um 1²...2² in ein Summenzeichen umzuformen.. Die Formel endet bei mir in der Art
[mm] \Wurzel{ [irgendwas * (2² - 1²) + 4/n (2)]² + 1 }
[/mm]
+ [mm] \Wurzel{ [irgendwas * (3² - 2²) + 4/n (3)]² + 1 } [/mm] + ...
+ [mm] \Wurzel{ [irgendwas * (n² - (n-1)²) + 4/n (n)]² + 1 }
[/mm]
Oder so ähnlich..
Mein Mathelehrer hat mir nun aufgetragen einen entsprechenden Teil
ms = [mm] (y_{2} [/mm] - [mm] y_{1}) [/mm] / [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] x_{1})
[/mm]
umzuschreiben in
mt = f'( [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}) [/mm] / 2),
aber ich finde keine Lösung.
Er meinte das ließe sich bei der Parabel beweisen. Zu tun muss das haben mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Man denkt sich ja quasi, dass es in dem Intervall [x1,x2] eine Tangente mit der Steigung mt gibt, die die gleiche Steigung ms hat, wie die Sekante durch x1 und x2). Soweit hab ich das verstanden.
Und für mich ist es auch logisch, dass diese Tangente genau zwischen den Punkten liegt ((x1+x2)/2), weil die Krümmung der Kurve ja konstant ist.
Ich weiß zwar nicht ob man das so nennen kann, was ich meine ist halt, wenn f(x) = x² ist, dann ist f''(x) = 2 = const.
Irgendwas muss es ja damit auf sich haben.. Mathematisch macht das aber wohl nicht so viel Sinn?? :-/ Ein gedanklicher Anstoß wäre ganz nett...
Wäre gut, wenn mir jemand grade mal helfen könnte, denn der Beweis ist eigentlich nur eine Hilfe in einer komplexeren Umformung in Zusammenhang mit dem Linienintegral, welches mit einer Hand voll Sekanten annäherungsweise errechnet werden soll :(
Muss ich mich eventuell näher mit dem Begriff Krümmungsmaß beschäftigen um den Beweis zu führen?
Anmerkung: Heute gelernt: Die Krümmung ist 1 / f''(x), und im Falle der Parabel konstant 1/2, sodass der Gedankengang korrekt wäre..
Mit freundlichen Grüßen, Eduard
Lösung:
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es eine Tangente im Intervall [a,b], die die selbe Steigung mt hat, wie die Sekante durch f(a) und f(b), deren Steigung ms sei.
ms = [mm] (y_{b} [/mm] - [mm] y_{a}) [/mm] / [mm] (x_{b}-x_{a})
[/mm]
mt = f'(x) = 2*x
Setzen wir nun speziell eine einfache Parabel f(x) = x² ein, so ergibt sich, wenn wir herausfinden wollen für welches x dies gelten soll:
ms = mt
<=> (b² - a²) / (b-a) = 2*x
Ergänzen: (b²-a²) = (b+a)(b-a) -> 3. binomische Formel
<=> (b+a)*(b-a)/(b-a) = 2*x
(b-a) kürzt sich weg
<=> b+a = 2*x | /2
<=> (b+a)/2 = x
Quod erat demonstrandum.
Selbst für die Allgemeinform der Parabel lässt sich dies beweisen:
f(x) = ax² + bx + c => f'(x) = 2*a*x + b
Intervall [i,k]
=> ( (ak²+bk+c)-(ai²+bi+c) ) / (k-i) = 2*a*x + b
c kürzt sich weg
<=> (ak²+bk-ai²-bi) / (k-i) = 2*a*x + b
Ausklammern
<=> ( a(k²-i²) + b(k-i) ) / (k-i) = 2*a*x + b
Ergänzen mit 3. binomischer Formel
<=> ( a*(k+i)*(k-i) + b*(k-i) ) / (k-i) = 2*a*x + b
(k-i) kürzt sich weg
<=> a*(k+i)+b = 2*a*x + b
'- b' und danach '/2a'
<=> (k+i)/2 = x
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