Sonnensegel Q im Schatten < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Sa 09.03.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Zur Beschattung einer Terrasse wird ein dreieckförmiges Sonnensegel aufgespannt, dessen Befestigungen durch die Punkte [mm] P_1 [/mm] (5 / 0 / 7), [mm] P_2 [/mm] (5 / 6 / 1) und [mm] P_3 [/mm] (-1 / 6 / 7) dargestellt werden.
Teilaufgabe 3
Die Sonnenstrahlen fallen senkrecht auf das Sonnensegel. Untersuchen Sie, ob sich ein Gegenstand, der im Punkt Q (-4 / 0 / 0) auf der Terrasse liegt, sich im Schatten des Sonnensegels befindet. |
Moin, Moin!
Es geht mir bei dieser Aufgabe nur um die Teilaufgabe 3.
Aufgestellt habe ich zunächst die Ebene des Sonnensegels in Parameter- und in Normalenform.
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 7} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 6 \\ -6} [/mm] + [mm] s*\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
E: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 7})*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0
Idee
Die Sonnenstrahlen fallen senkrecht auf das Sonnensegel.
Ich habe daher die Befestigungspunkte auf die xy-Ebene herunter geholt.
[mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 0}, \vektor{5 \\ 6 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
Daraus die Ebene aufgestellt...
F: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 6 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
Wenn ich nun Q gleich der Ebene F setze,
5 -6s = -4 s = 1,5
6r +6s = 0 r = -1,5
0 = 0
erhalte ich für s= 1,5. Dieser Wert ist größer als 1, daher liegt Q nicht im Schatten.
Ist das soweit korrekt?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Sa 09.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
Du hast da m.E. einen Gedankenfehler. Die Sonnenstrahlen fallen senkrecht auf das Segel, und nicht auf die Terrasse.
Damit stimmen Deine "Schattenpunkte" auf der Terrasse nicht.
Diese erhältst Du durch Schnittpunkte der "Ecksonnenstrahlen"-Geraden mit der xy-Ebene.
Dafür musst Du den Normalenvektor der Segelebene verwenden.
Den ersten Punkt erhältst Du über:
[mm]\vektor{5\\
0\\
7}+\lambda*\vektor{1\\
1\\
1} \ = \ \vektor{x\\
y\\
0}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Sa 09.03.2013 | | Autor: | hase-hh |
Aha!! Vielen Dank!!
Also...
Ich berechne die Eckpunkte der Schattenfläche auf der xy-Ebene...
d.h. z = 0...
T1 [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 7} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
T1 [mm] \vektor{-2 \\ -7 \\ 0}
[/mm]
T2 [mm] \vektor{5 \\ 6 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
T2 [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 0}
[/mm]
T3 [mm] \vektor{-1 \\ 6 \\ 7} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
T3 [mm] \vektor{-8 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Daraus ergibt sich die"Schattenebene"
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -7 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{6 \\ 12 \\ 0} +s*\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{-2 \\ -7 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{6 \\ 12 \\ 0} +s*\vektor{-6 \\ 6 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
-2 +6*r -6*s = -4
-7 +12*r +6*s = 0
0 = 0
=> r = [mm] \bruch{5}{18} [/mm] s = [mm] \bruch{11}{18}
[/mm]
Schlussfolgerung: Q liegt im Schatten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 09.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Schau Dir noch einmal an, was Du gerechnet hat.
Die Eckpunkte des Sonnensegels ergeben die Eckpunkte des Schattens T1, T2 und T3. Das ist in Ordnung.
Nun aber:
Du hast diese drei Punkte aus der x-y-Ebene berechnet. Als nächstes ermittelst Du aus diesen die "Schattenebene", welche natürlich die x-y-Ebene ist. Dann stellst Du fest, dass $ [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ in der x-y-Ebene liegt. Das lässt sich direkt an der z-Koordinate ablesen.
Schau es Dir mal mit einer Zeichnung an. Zeichne T1, T2 und T3 in ein x-y-Koordinatensystem. Wie sieht nun der Schatten aus? Zeichne auch Q ein. Liegt Q im Schatten? Dann könntest Du eine Idee bekommen, wie man das auch mit einer Rechnung überprüft. Eine Möglichkeit wäre, drei Ungleichungen aufzustellen und zu überprüfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Mi 20.03.2013 | | Autor: | hase-hh |
Tut mir leid, das verstehe ich überhaupt nicht.
Was für eine Rechnung soll ich noch machen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:27 Mi 20.03.2013 | | Autor: | hase-hh |
Tut mir leid, das verstehe ich überhaupt nicht.
Was für eine Rechnung soll ich noch machen?
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> Tut mir leid, das verstehe ich überhaupt nicht.
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> Was für eine Rechnung soll ich noch machen?
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Hallo,
Du hast doch in Deinem Beitrag von 9.17 Uhr gesagt, was Du noch prüfen mußt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Mi 20.03.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin, Moin,
bei dieser Aufgabe soll gelten:
wenn I. 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und II. 0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] 1 sind III. 0 [mm] \le [/mm] r+s [mm] \le [/mm] 1
dann liegt Q im Schatten!?
Liegt das jetzt daran, dass wir hier ein Dreieck betrachten?
Bei einer ähnlichen Aufgabe, in der gefragt wurde, ob ein Schattenpunkt auf der Dachfläche (Parallelogramm) liegt, wurde diese Einschränkung nicht gemacht.
Da reichten offenbar die ersten beiden Bedingungen aus -> ???
Danke & Gruß
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> Moin, Moin,
Hallo,
ich gehe stark davon aus, daß sich r und s auf Deine aus den drei Schattenpunkten gewonnene Parameterdarstellung der xy-Ebene beziehen.
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> bei dieser Aufgabe soll gelten:
>
> wenn I. 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 1 und II. 0 [mm]\le[/mm] s [mm]\le[/mm] 1 sind
> III. 0 [mm]\le[/mm] r+s [mm]\le[/mm] 1
>
> dann liegt Q im Schatten!?
Genau.
>
> Liegt das jetzt daran, dass wir hier ein Dreieck
> betrachten?
Ja.
>
>
> Bei einer ähnlichen Aufgabe, in der gefragt wurde, ob ein
> Schattenpunkt auf der Dachfläche (Parallelogramm) liegt,
> wurde diese Einschränkung nicht gemacht.
>
> Da reichten offenbar die ersten beiden Bedingungen aus ->
> ???
Ja.
Wenn r+s=1, dann liegt der Punkt genau auf der dritten Dreiecksseite, welche das Schattengebiet begrenzt.
LG Angela
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> Danke & Gruß
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