Späre als projektive Ebene? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Mo 08.05.2006 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Sei [mm] $S^{2}= [/mm] { x [mm] \in \IR^{3}, [/mm] ||x||=1 } [mm] \subseteq \IR^{3}$ [/mm] die 2-Sphäre und [mm] $\IR P^{2}= (\IP, \IG, \IE)$ [/mm] wie folgt definiert:
[mm] \IP [/mm] = Menge aller antipodalen Punktepaare in [mm] S^{2}, [/mm] d.h. aller ungeordneter Paare {x,-x} [mm] \subseteq S^{2},
[/mm]
[mm] \IG [/mm] = Menge aller Großkreise in [mm] S^{2}, [/mm] d.h. der Schnitte aller 2-drimensionalen Unterräume von [mm] \IR^{3} [/mm] mit [mm] S^{2},
[/mm]
[mm] \IE [/mm] = { [mm] \IP [/mm] }
Als Inzidenz sei definiert: Für {x,-x} [mm] \in \IP [/mm] und g [mm] \in \IG [/mm] gilt: {x,-x} inzidiert mit g [mm] \gdw [/mm] {x,-x} [mm] \subseteq [/mm] g.
Zeigen Sie, dass [mm] \IR P^{2} [/mm] eine projektive Ebene ist. |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe von meinem 'Elementargeometrie'-Zettel hat mir das Wochenende versüßt. Allerdings nicht so, wie ich es mir erhofft hatte, da ich mit meinen anfänglichen Überlegungen nicht weiterkam.
Was stelle ich mir unter dem oben genannten vor (ist ja vielleicht nicht uninteressant): Ich stelle mit eine Kugel (=Sphäre?) im [mm] \IR^{3} [/mm] um einen Mittelpunkt M vor. Die Vektoren der Punktemenge [mm] \IP [/mm] gehen von diesem Mittelpunkt zur Hülle der Sphäre und haben dabei die Länge 1 (das leite ich mich aus der Angabe der Norm her; im Tutorium ergab eine Nachfrage, dass die Norm hier 'nativ' zu verstehen ist als:
$ [mm] ||\vektor{x \\ y\\z}||= \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
[/mm]
Soweit so gut.
Da es sich ja um eine projektive Geometrie handelt, weiß ich, dass die "Punkte" als 1-dimensionale Unterräume von [mm] \IR^{3} [/mm] aufzufassen sind, respektive die Geraden als 2-dimensionale Unterräume - was die Definition der Inzidenz irgendwie einleuchten lässt.
Was ich für eine 'projektive Ebene' zeigen muss, weiß ich auch:
Inzidenzaxiom I:
Für P [mm] \not= [/mm] Q [mm] \in \IP \exists [/mm] 1 g [mm] \in \IG: [/mm] P,Q [mm] \subseteq [/mm] g
Inzidenzaxiom II:
Es existieren drei nicht kollinerare Punkte P,Q,R [mm] \in \IP
[/mm]
sowie diese beiden Eigenschaften:
(i) [mm] $\forall [/mm] g [mm] \not= [/mm] h [mm] \in \IG [/mm] : g [mm] \cap [/mm] h [mm] \not= \emptyset$
[/mm]
(ii) [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in \IG [/mm] : |g| [mm] \ge [/mm] 3$
Was zu zeigen ist, ist mir klar, allerdings mangelt es mir - mal wieder - an der Anschauung.
Ich bin mir dessen Bewusst, dass Anschauung in der sehr penibel definierten axiomatischen Geometrie nicht all zu viel Verloren hat, weil es sehr leicht irreführen kann. Dennoch komme ich davon aktuell nicht nicht los.
Meine Frage ist: Wie kann ich mir diese Aufgabe bzw. diese Schnitte vorstellen? Und wie kann ich diese 4 Dinge adäquat aufschreiben?
Insbesondere die Tatsache dass so ein Großkreis mindestens 3 Elemente enthalten soll verwirrt mich; bzw. geistert bei mir im Hinterkopf die Frage, was denn eigentlich mit dem Punkt (0,0) ist.
Aus der Vorlesung und einer anderen Übungsaufgabe weiß ich, dass sich in einer projektiven Ebene zwei Geraden stets schneiden (notfalls in diesem 'uneigentlichen Punkt'). Allerdings kann ich mir das bzgl. dieser Sphärenschnitte auch nur spärlich vorstellen.
Vielleicht mag mir ja jemand einen Stuppser in die richtige Richtung gen Erkenntnis / Erleuchtung geben.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun über diese Aufgabe 5,5 Stunden schlafen wird
Ich habe diese Aufgabe auf keiner anderen Internetseite oder einem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lary!
> Sei [mm]S^{2}= \{ x \in \IR^{3}, ||x||=1 \} \subseteq \IR^{3}[/mm]
> die 2-Sphäre und [mm]\IR P^{2}= (\IP, \IG, \IE)[/mm] wie folgt
> definiert:
> [mm]\IP[/mm] = Menge aller antipodalen Punktepaare in [mm]S^{2},[/mm] d.h.
> aller ungeordneter Paare [mm] $\{x,-x\}$[/mm] [mm]\subseteq S^{2},[/mm]
> [mm]\IG[/mm] =
> Menge aller Großkreise in [mm]S^{2},[/mm] d.h. der Schnitte aller
> 2-drimensionalen Unterräume von [mm]\IR^{3}[/mm] mit [mm]S^{2},[/mm]
> [mm]\IE[/mm] = [mm]\{\IP\}[/mm]
>
> Als Inzidenz sei definiert: Für [mm] $\{x,-x\}$[/mm] [mm]\in \IP[/mm] und g [mm]\in \IG[/mm]
> gilt: [mm] $\{x,-x\}$ [/mm] inzidiert mit g [mm]\gdw[/mm] [mm] $\{x,-x\}$[/mm] [mm]\subseteq[/mm] g.
Wenn du mit geschweiften Klammern arbeitest, schreib sie doch bitte richtig als Formel! So muss man das jedes Mal von Hand nachbearbeiten damit es nicht in totalem Chaos endet!
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\IR P^{2}[/mm] eine projektive Ebene ist.
> Hallo zusammen,
>
> obige Aufgabe von meinem 'Elementargeometrie'-Zettel hat
> mir das Wochenende versüßt. Allerdings nicht so, wie ich es
> mir erhofft hatte, da ich mit meinen anfänglichen
> Überlegungen nicht weiterkam.
>
> Was stelle ich mir unter dem oben genannten vor (ist ja
> vielleicht nicht uninteressant): Ich stelle mit eine Kugel
> (=Sphäre?) im [mm]\IR^{3}[/mm] um einen Mittelpunkt M vor. Die
> Vektoren der Punktemenge [mm]\IP[/mm] gehen von diesem Mittelpunkt
> zur Hülle der Sphäre und haben dabei die Länge 1 (das leite
> ich mich aus der Angabe der Norm her; im Tutorium ergab
> eine Nachfrage, dass die Norm hier 'nativ' zu verstehen ist
> als:
>
> [mm]||\vektor{x \\ y\\z}||= \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm]
Die Norm ist hier eigentlich egal, jede andere tuts auch. Mit der Euklidischen ists aber evtl. leichter vorstelbar 
> Soweit so gut.
>
> Da es sich ja um eine projektive Geometrie handelt, weiß
> ich, dass die "Punkte" als 1-dimensionale Unterräume von
> [mm]\IR^{3}[/mm] aufzufassen sind, respektive die Geraden als
> 2-dimensionale Unterräume - was die Definition der Inzidenz
> irgendwie einleuchten lässt.
>
> Was ich für eine 'projektive Ebene' zeigen muss, weiß ich
> auch:
>
> Inzidenzaxiom I:
> Für P [mm]\not=[/mm] Q [mm]\in \IP \exists[/mm] 1 g [mm]\in \IG:[/mm] P,Q [mm]\subseteq[/mm] g
Zwei Punkte $P, Q [mm] \in \IP$ [/mm] sind entweder gleich, oder fuer alle $x [mm] \in [/mm] P$, $y [mm] \in [/mm] Q$ gilt $(x, y)$ linear unabhaengig. Wenn also $P, G [mm] \subseteq [/mm] g$ gilt, so muss insb. $x, y [mm] \in [/mm] g$ gelten, womit der zweidimensionale Aufspann von $x$ und $y$ in $g$ liegt. Also...?
> Inzidenzaxiom II:
> Es existieren drei nicht kollinerare Punkte P,Q,R [mm]\in \IP[/mm]
Gib drei linear unabhaengige Punkte auf der Kugel an und nimm die zugehoerigen Punkte. Jeder UVR, die alle enthaelt, muss Dimension 3 haben, also der ganze Raum sein.
> sowie diese beiden Eigenschaften:
>
> (i) [mm]\forall g \not= h \in \IG : g \cap h \not= \emptyset[/mm]
Dimensionsformel: Zwei UVRe der Dimension 2 in [mm] $\IR^3$ [/mm] haben einen Schnitt von Dimension [mm] $\ge [/mm] 1$.
> (ii) [mm]\forall g \in \IG : |g| \ge 3[/mm]
Nimm eine Basis $x, y$ von $G$, mit [mm] $\norm [/mm] x [mm] \norm [/mm] = [mm] \norm [/mm] y [mm] \norm [/mm] = 1$. Dann hast du schonmal zwei Punkte die auf $g$ liegen. Einen dritten bekommst du durch $z := [mm] \frac{x + y}{\norm x + y \norm}$ [/mm] (hier musst du zeigen, dass $x + y [mm] \neq [/mm] 0$ ist).
> Ich bin mir dessen Bewusst, dass Anschauung in der sehr
> penibel definierten axiomatischen Geometrie nicht all zu
> viel Verloren hat, weil es sehr leicht irreführen kann.
> Dennoch komme ich davon aktuell nicht nicht los.
Och, etwas Anschauung ist immer gut Ich kann mir Dinge die ich mir nicht irgendwie vorstellen kann nur sehr schlecht merken...
> Insbesondere die Tatsache dass so ein Großkreis mindestens
> 3 Elemente enthalten soll verwirrt mich; bzw. geistert bei
> mir im Hinterkopf die Frage, was denn eigentlich mit dem
> Punkt (0,0) ist.
Welcher Punkt $(0, 0)$? Meinst du $(0, 0, 0)$?
> Aus der Vorlesung und einer anderen Übungsaufgabe weiß ich,
> dass sich in einer projektiven Ebene zwei Geraden stets
> schneiden (notfalls in diesem 'uneigentlichen Punkt').
In der projektiven Ebene hast du eine ganze Ebene voll 'uneigentlichen Punkten' (die nicht zur affinen Ebene gehoeren).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Di 09.05.2006 | | Autor: | laryllan |
Zunächst einmal: Danke, Felix!
Alles beim ersten Lesen verstanden - Ich meinte natürlich den Punkt (0,0,0) (alles andere wäre im [mm] \IR^{3} [/mm] als Ursprung nicht so gut).
Das mit den geschweiften [mm] \{ Klammern \} [/mm] merk ich mir für meine kommenden Postings (egal ob aktiv-helfend und passiv-geholfen-werdent)
Namárie,
sagt ein Lary, wo das jetzt alles nochmal gescheit aufschreiben wird
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