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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
| Aufgabe | Es sei U ein Teilraum des [mm] \IR^2 [/mm] mit
[mm] \{0\} \not= [/mm] U [mm] \not= \IR^2
[/mm]
Man zeige, dass es ein Spalte [mm] x^0 \in \IR^2 [/mm] gibt, so dass
U = [mm] \{ c * x^0 | c \in \IR \}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir vielleicht erstmal jmd die Fragestellung "übersetzten"?
Ich bin mir nicht sicher ob ich überhaupt verstanden habe, was gefragt ist bzw. verstehe es nicht 
und eben einen tipp wie man die sache dann angehen kann..
danke!
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> Es sei U ein Teilraum des [mm]\IR^2[/mm] mit
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> [mm]\{0\} \not=[/mm] U [mm]\not= \IR^2[/mm]
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> Man zeige, dass es ein Spalte [mm]x^0 \in \IR^2[/mm] gibt, so dass
>
> U = [mm]\{ c * x^0 | c \in \IR \}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Kann mir vielleicht erstmal jmd die Fragestellung
> "übersetzten"?
> Ich bin mir nicht sicher ob ich überhaupt verstanden habe,
> was gefragt ist bzw. verstehe es nicht
>
> und eben einen tipp wie man die sache dann angehen kann..
>
> danke!
Hallo!
Übersetzung:
Es sei U ein Untervektorraum von [mm] \IR^{2}, [/mm] wobei {0} [mm] \not= [/mm] U [mm] \not= \IR^{2}. [/mm] Weise nach, dass es einen Vektor [mm] x^{0}\in\IR^{2} [/mm] gibt, sodass sich ganz U als Linearkombination aus diesem Vektor [mm] x^{0} [/mm] und Skalaren aus [mm] \IR [/mm] bilden lässt, also das ich U darstellen kann als U = [mm]\{ c * x^0 | c \in \IR \}[/mm].
Vorgehen:
1. Für U sind konkrete Bedingungen gestellt, was es nicht sein darf. Zeige, dass deswegen U weder 0- noch 2-dimensional sein kann, also U eindimensional ist.
(Du kannst das zeigen, indem du z.B. sagst, dass der einzige 0-dim. Vektorraum gerade {0} ist und U das ja nicht sein darf, die Knobelei mit [mm] \IR^{2} [/mm] überlasse ich aber noch dir)
2. Ein eindimensionaler Vektorraum hat eine einelementige Basis, die immer existiert. Das eine Element ist der gesuchte Vektor [mm] x^{0}. [/mm] Da Basis Erzeugendensystem etc., wird ganz U dadurch aufgespannt.
Stefan.
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