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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | A [mm] \in K^{m \times n} [/mm] und b [mm] \in K^m
[/mm]
Zeigen Sie:
b [mm] \in [/mm] SR(A) [mm] \Rightarrow [/mm] SR(A) = SR(A,b). |
Hallo!
Ich weiß nicht ganz wie ich an obige Aufgabe herangehen soll. Es scheint mir sehr logisch, denn wenn b schon im Spaltenraum (SR) von A ist, und es ist ja erst recht in SR(A,b), dann sollten die beiden Mengen doch gleich sein, oder?
Als Hinweis steht dazu, man solle folgendes verwenden:
V ist K-VR und M [mm] \subset [/mm] V
a) M [mm] \subseteq [/mm] <M>
b) <M> [mm] \leq [/mm] V
c) M [mm] \subseteq [/mm] W [mm] \leq [/mm] V dann auch <M> [mm] \subseteq [/mm] W
d) M [mm] \leq [/mm] V [mm] \Leftrightarrow [/mm] M = <M>
e) <<M>> = <M>
<> = Erzeugnis.
Ich erkenne nicht recht den Zugang. Soll ich am besten versuchen beide Inklusionen zu zeigen?
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> A [mm]\in K^{m \times n}[/mm] und b [mm]\in K^m[/mm]
> Zeigen Sie:
> b [mm]\in[/mm] SR(A) [mm]\Rightarrow[/mm] SR(A) = SR(A,b).
> Hallo!
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> Ich weiß nicht ganz wie ich an obige Aufgabe herangehen
> soll. Es scheint mir sehr logisch, denn wenn b schon im
> Spaltenraum (SR) von A ist, und es ist ja erst recht in
> SR(A,b), dann sollten die beiden Mengen doch gleich sein,
> oder?
> Ich erkenne nicht recht den Zugang. Soll ich am besten
> versuchen beide Inklusionen zu zeigen?
Hallo,
genau. Für die Gleichheit der Mengen mußt Du ja zweierlei zeigen:
1. SR(A) [mm] \subseteq [/mm] SR(A,b)
2. SR(A,b) [mm] \subseteq [/mm] SR(A)
In der Tat ist die erste Aussage wirklich kein Weltwunder.
Die zweite Aussage ist weniger selbstverständlich. Hier kommt die Voraussetzung zum Tragen.
Ich würde nun so beginnen: seien [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in K^m [/mm] die Spalten von A.
Dann ist der Spaltenraum SR(A)=....
Gruß v. Angela
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> Als Hinweis steht dazu, man solle folgendes verwenden:
> V ist K-VR und M [mm]\subset[/mm] V
>
> a) M [mm]\subseteq[/mm] <M>
> b) <M> [mm]\leq[/mm] V
> c) M [mm]\subseteq[/mm] W [mm]\leq[/mm] V dann auch <M> [mm]\subseteq[/mm] W
> d) M [mm]\leq[/mm] V [mm]\Leftrightarrow[/mm] M = <M>
> e) <<M>> = <M>
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> <> = Erzeugnis.
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> Ich erkenne nicht recht den Zugang. Soll ich am besten
> versuchen beide Inklusionen zu zeigen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Do 29.05.2008 | | Autor: | Wimme |
ok, danke für deine Hilfe!
Hier mal ein Versuch:
Seien [mm] a_1,...,a_n \in K^m [/mm] die Spalten von A.
SR(A,b) [mm] \supseteq [/mm] SR(A):
Sei x [mm] \in [/mm] SR(A). D.h. x ist darstellbar als [mm] \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}
[/mm]
Da [mm] a_1 [/mm] ... [mm] a_n \in [/mm] SR(A,b) ist x mit der gleichen LK auch [mm] \in [/mm] SR(A,b).
SR(A,b) [mm] \supseteq [/mm] SR(A):
Sei z [mm] \in [/mm] SR(A,b).Mit [mm] z=\sum_{i=1}^{k}{\lambda_i \cdot q_i}, [/mm] wobei [mm] q_i [/mm] Spalte von A oder b.
1.Fall: keines der [mm] q_i [/mm] ist b:
z liegt auch in SR(A), da alle [mm] q_i [/mm] Spalten von A sind.
2.Fall: ein [mm] q_i=b. [/mm] O.B.d.A [mm] q_1
[/mm]
D.h. [mm] z=\lambda_1 \cdot q_1 [/mm] + [mm] \sum_{i=2}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot q_1 [/mm] ist [mm] \in [/mm] SR(A) weil b [mm] \in [/mm] SR(A), d.h. b ist darstellbar durch [mm] b=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_i \cdot a_i}
[/mm]
Und damit ist auch [mm] \lambda_1 \cdot [/mm] b eine LK der [mm] a_i [/mm] und damit in SR(A):
[mm] \sum_{i=2}^{n}{\lambda_i \cdot a_i} [/mm] ist [mm] \in [/mm] SR(A) und damit ganz z.
Was hälst du davon?
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> Hier mal ein Versuch:
> Was hälst du davon?
Hallo,
ich finde das, was Du schreibst, recht brauchbar, auf jeden Fall hast Du alles verstanden.
An einigen Stellen könnte man sich durch geschicktere Wahl v. Bezeichnungen noch ein paar Steine aus dem Weg räumen.
>
> Seien [mm]a_1,...,a_n \in K^m[/mm] die Spalten von A.
>
> SR(A,b) [mm]\supseteq[/mm] SR(A):
>
> Sei x [mm]\in[/mm] SR(A). D.h. x ist darstellbar als
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}[/mm]
> Da [mm]a_1[/mm] ... [mm]a_n \in[/mm]
> SR(A,b) ist x mit der gleichen LK auch [mm]\in[/mm] SR(A,b).
Schreib lieber [mm] \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}=(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}) [/mm] + 0*b,
dann sieht man zwingend, daß das in S(A,b) liegt.
>
> SR(A,b) [mm]\supseteq[/mm] SR(A):
>
> Sei z [mm]\in[/mm] SR(A,b).Mit [mm]z=\sum_{i=1}^{k}{\lambda_i \cdot q_i},[/mm]
> wobei [mm]q_i[/mm] Spalte von A oder b.
Du kannst auf die Fallunterscheidung verzichten, und alles etwas flüssiger gestalten, wenn Du sagst
nach Voraussetzung gibt es [mm] \mu_i [/mm] mit [mm] b=\summe\mu_ia_i.
[/mm]
Sei [mm] x=(\summe\lambda_ia_i)+\lambda [/mm] b= ..., und nun sortierst Du so, daß man nicht anders kann, als zu sehen, daß x eine Linearkombi der [mm] a_i [/mm] ist.
Gruß v. Angela
>
> 1.Fall: keines der [mm]q_i[/mm] ist b:
> z liegt auch in SR(A), da alle [mm]q_i[/mm] Spalten von A sind.
>
> 2.Fall: ein [mm]q_i=b.[/mm] O.B.d.A [mm]q_1[/mm]
> D.h. [mm]z=\lambda_1 \cdot q_1[/mm] + [mm]\sum_{i=2}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \cdot q_1[/mm] ist [mm]\in[/mm] SR(A) weil b [mm]\in[/mm] SR(A), d.h. b
> ist darstellbar durch [mm]b=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_i \cdot a_i}[/mm]
>
> Und damit ist auch [mm]\lambda_1 \cdot[/mm] b eine LK der [mm]a_i[/mm] und
> damit in SR(A):
> [mm]\sum_{i=2}^{n}{\lambda_i \cdot a_i}[/mm] ist [mm]\in[/mm] SR(A) und
> damit ganz z.
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> Was hälst du davon?
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