Spaltenvektoren einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Mi 24.12.2008 | | Autor: | farnold |
Angenommen ich ahbe eine lineare Abbildung F : [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^m
[/mm]
mit x -> A*x
A ist eine Matrix
Es gibt ja nun den Satz " Die Spaltenvektoren der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren"
wenn die Basis die kannonische Basis ist leuchtet mir das ja noch ein.
was ist nun aber wenn wir statt der standardbasis eine andere haben.
z.b. imt [mm] \IR^3 [/mm] statt (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) haben wir (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)
sind dann immer noch " Die Spaltenvektoren der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren", wenn ja warum?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo farnold,
> Angenommen ich ahbe eine lineare Abbildung F : [mm]K^n[/mm] -> [mm]K^m[/mm]
> mit x -> A*x
> A ist eine Matrix
> Es gibt ja nun den Satz " Die Spaltenvektoren der Matrix
> sind die Bilder der Basisvektoren"
>
> wenn die Basis die kannonische Basis ist leuchtet mir das
> ja noch ein.
> was ist nun aber wenn wir statt der standardbasis eine
> andere haben.
> z.b. imt [mm]\IR^3[/mm] statt (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) haben wir
> (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)
> sind dann immer noch " Die Spaltenvektoren der Matrix sind
> die Bilder der Basisvektoren", wenn ja warum?
Das kommt darauf an, ob auch die Matrix bzgl. der neuen Basis "umgeschrieben" wurde.
Es ist ja klar, dass sich die Einträge der Matrix ändern müssen, wenn man einen Basiswechsel durchführt. Nach dem Basiswechsel "erwartet" die Matrix, dass man sie mit Vektoren multipliziert, die ebenfalls bzgl. der neuen Basis geschrieben wurden.
Bezüglich der neuen Basis haben die neuen Basisvektoren allerdings wieder die Koordinaten [mm] $\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}$, [/mm] d.h. in der Matrix stehen wieder in die Spalten die Bilder der Basisvektoren (bzgl. der neuen Basis).
Ich würde mir das mal mit einem Beispiel (einer Matrix A) klar machen 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 24.12.2008 | | Autor: | farnold |
achso meinst du damit , das ich wenn ich dieselbe Matrix bzgl. einer anderen Basis darstellen will einfach zu der gegebenen Matrix A, eine Transformationsmatrix "vorne" und "hinten" dran stelle also in der Form S*A*S^-1
und deswegen habe ich eigentlich die Koordinaten der Bilder als Spaltenvektoren, kann man das so sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, in etwa passt das so.
Das "logische" Problem darin ist wohl, was du hast, dass du sagst: Meine neuen Basisvektoren sind aber (1,1,0) usw. Wenn man die aber so hinschreibt, dann ist das ja genau der "neue" Basisvektor bezüglich der "alten" Basis.
Wenn man jetzt aber "nur" in der "neuen" Basis rechnen mag, muss man die Matrix also transformieren. Dann schaut aber der neue Basisvektor (1,1,0), der ja so ausschaut bzgl. der alten Basis, zB aus wie (1,0,0) bzgl der "neuen" Basis.
Das muss man sich einmal klar machen, was die Einträge im Vektor bedeuten, und bzgl. welcher Basis die dort stehen.
Wenn du zB die neue Basis (1,1,0) (1,0,0) (0,0,1) hast, und dann zB einen Vektor (3,2,1) hinschreibt, dann meine ich ja zB jetzt erstmal die "alte" kanonische Basis (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).
Wenn ich jetzt aber den Vektor (3,2,1) hinschreibe, und den bzgl. der neuen Basis (1,1,0) (1,0,0) (0,0,1) hinschreiben mag, dann muss man sich ja erstmal überlegen, wi eman den aus den obigen "neuen" Basisvektoren linearkombinieren kann.
In diesem Fall wäre das ja dann gleich
2*(1,1,0)+1*(1,0,0)+1*(0,0,1)=(3,2,1)
Wenn man den Vektor jetzt aber bzgl. der "neuen" Basis (1,1,0) usw. hinschreiben will, dann sind die Einträge im Vektor bzgl. der "neuen" Basis ja gleich der Koeffizienten (2,1,1)
Und wenn man jetzt die Matrix in Sprache der "neuen" Basis hinschreibt, dann stimmt das immer noch, dass die Bilder der Basisvektoren gleich den Spalteneinträgen ist.
Und deine Trafo stimmt dann auch, weil man damit eine Matrix von einer Basis in eine Matrix bzgl. der anderen Basis hinschreiben kann (der sog. Basiswechsel =))
Ich hoffe, der Text bringt jetzt mehr Klarheit als Verwirrung ...
Viele Grüße,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 24.12.2008 | | Autor: | farnold |
hm ich glaub so in etwa habe ich es nun verstnaden, weil wenn ich
(1,1,0)(1,0,0)(0,0,1) als "neue" Basis habe und ich möchte (1,1,0) als Linearkombination eben dieser "neuen" Basis darstellen, dann habe ich ja
1*(1,1,0)+0*(1,0,0)+0*(0,0,1)=(1,1,0)
Also die Koordinaten (1,0,0), ergo bleiben die Spaltenvektoren die Bilder der Basisvektoren.
so in etwa ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 Do 25.12.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
exakt =)
LG
Kroni
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