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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | L sei der von den drei Matrizen
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, B=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 },C=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
erzeugte UVR von [mm] F2^{2x2}. [/mm] Bestimmen Sie Dimension und alle Elemente von L |
Hi,
muss ich um an die Dimension zu kommen den Spann A,B,C als Linearkombination darstellen ? Diese könnte ich ja dann mit Gauß behandeln und so an die Dimension kommen. Wie sähen dann die Elemente aus ?
lg
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> L sei der von den drei Matrizen
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }, B=\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 1 },C=\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 0 }[/mm]
>
> erzeugte UVR von [mm]F2^{2x2}.[/mm] Bestimmen Sie Dimension und alle
meinst du [mm]\IF_2^{2\times 2}[/mm]
> Elemente von L
> Hi,
> muss ich um an die Dimension zu kommen den Spann A,B,C als
> Linearkombination darstellen ? Diese könnte ich ja dann
> mit Gauß behandeln und so an die Dimension kommen. Wie
> sähen dann die Elemente aus ?
>
>
> lg
>
Der Span sieht so aus
[mm]L = \operatorname{span}\left( \pmat{1&0\\
0&1},\pmat{0&1\\
1&1},\pmat{1&1\\
1&0} \right)[/mm]
Für [mm]x\in L[/mm] gilt dann
[mm]x=\alpha\pmat{1&0\\
0&1}+\beta\pmat{0&1\\
1&1}+\gamma\pmat{1&1\\
1&0}[/mm] mit [mm]\alpha,\beta,\gamma\in \{0,1\}[/mm]
Die Elemente sind also Matrizen.
Um die Dimension zu bestimmen musst du also schauen, ob sich eine der Matrizen A,B,C als LK der anderen darstellen lässt. Denn wenn A,B,C den UVR aufspannen und linear unabhängig sind, dann hättest du schon die Dimension 3.
Tipp: Die Matrizen A,B,C als Zeile schreiben und dann Gauß anwenden. Denk aber bitte daran, dass du in [mm] $\IF_2$ [/mm] rechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Coup |
srry,
als Zeilen hieße ja
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
nach Z3 + Z 1 folgt dann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1}
[/mm]
Somit entsteht eine Nullzeile und die Dimension wäre demnach 1 da ich 2 Freiheitsgrade habe.
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> srry,
> als Zeilen hieße ja
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0}[/mm]
>
> nach Z3 + Z 1 folgt dann
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1}[/mm]
>
> Somit entsteht eine Nullzeile und die
also Rang 2
> Dimension wäre demnach 1 da ich 2 Freiheitsgrade habe.
Die Dimension ist 2!
Man sieht auch direkt, dass A+B=C
Oder B+C=A
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> L sei der von den drei Matrizen
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }, B=\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 1 },C=\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 0 }[/mm]
>
> erzeugte UVR von [mm]F2^{2x2}.[/mm] Bestimmen Sie Dimension und alle
> Elemente von L
Hallo,
ich möchte Dir nochmal einen "anderen" Weg zur Lösung der Aufgabe aufzeigen als den, den Dir wieschoo genannt hat.
Ich tue dies, weil ich den Eindruck habe, daß Du nicht recht weißt, was Du tust, wenn Du mit den Zeilenvektoren rumwurschtelst. (Wenn ich mich täusche, ist's umso besser!)
Gegeben hast Du hier drei Matrizen A,B,C , welche einen UVR U des VRes [mm] F^{2\times 2}_2 [/mm] aufspannen.
Diese drei Matrizen bilden also ein Erzeugendensystem von U.
Man weiß: jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis des erzeugten Raumes.
Diese suchen wir nun.
Du mußt nun also herausfinden: sind A,B,C linear unabhängig? Wenn ja, sind sie eine Basis des von ihnen erzeugten Raumes, welcher dann die Dimension 3 hat.
Um dies herauszufinden schau nach, ob die Gleichung aA+bB+cC=Nullmatrix mit [mm] a,b,c\in F_2 [/mm] nur die triviale Lösung hat. Wenn ja, sind die drei unabhängig.
Du wirst feststellen, daß die triviale Lösung nicht die einzige ist.
Also sind die drei abhängig, dh der aufgespannte Raum hat die Dimension 1 oder 2.
Schau, ob Du unter den 3 Matrizen 2 linear unabhängige findest.
Dies gelingt, denn [mm] A\not [/mm] 0*B und [mm] A\not=1*B, [/mm] also ist A kein Vielfaches von B. Somit sind A,B zusammen eine Basis von U:=<A,B,C>.
U ist also zweidimensional.
Jedes Element aus U ist, da ja (A,B) eine Basis ist, von der Machart aA+bB. Bedenke, daß [mm] a,b\in F_2, [/mm] und überlege Dir, wieviele Elemente in U sind.
LG Angela
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