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Hallo,
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Gegeben seien die folgenden (paarweise verschiedenen) Unterräume des [mm] \IR^5:
[/mm]
[mm] U_1=Span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] , [mm] U_2=Span(\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}), U_3=Span(\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}).
[/mm]
Für welches i [mm] \in [/mm] {1,2,3} gilt:
[mm] U_i=Span(\vektor{0 \\ 0 \\ -7 \\ -14 \\ -6}, \vektor{-11 \\ -11 \\ 7 \\ 14 \\ 3}, \vektor{2 \\ 2 \\ 3 \\ 6 \\ 3}, \vektor{4 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] ?
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So, ich soll hier ja überprüfen, welches [mm] U_1,U_2 [/mm] oder [mm] U_3 [/mm] die gleiche lineare Hülle hat wie der letzte angegebene Span. Das richtige Ergebnis ist [mm] U_3, [/mm] aber auf die Methode wie ich es mache ist es eine ziemliche Sisyphusarbeit das auszurechnen, hier ist es wie ich es mache:
Ich schreibe die Vektoren in eine Matrix und nehme mir den ersten Vektor aus [mm] U_1 [/mm] und schaue ob ich ihn als Linearkombination darstellen kann:
[mm] \pmat{ 0 & -11 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -11 & 2 & 4 & 1 \\ -7 & 7 & 3 & 0 & 1 \\ -14 & 14 & 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Das LGS ist nicht lösbar, also haben sie nicht die gleiche lineare Hülle.
Analog mache ich es mit dem ersten Vektor aus [mm] U_2:
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -11 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -11 & 2 & 4 & 1 \\ -7 & 7 & 3 & 0 & 0 \\ -14 & 14 & 6 & 0 & -1 \\ -6 & 3 & 3 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Das LGS ist nicht lösbar, also haben sie nicht die gleiche lineare Hülle.
Analog wird es auch für [mm] U_3 [/mm] überprüft:
[mm] \pmat{ 0 & -11 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -11 & 2 & 4 & 1 \\ -7 & 7 & 3 & 0 & 0 \\ -14 & 14 & 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Das LGS ist lösbar, also teste ich es noch mit dem zweiten und dritten Vektor aus [mm] U_3:
[/mm]
Alle drei LGS sind lösbar, also ist [mm] U_3 [/mm] mein gesuchter Span!
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Nun ist das ein erheblicher Rechenaufwand und ich wollte mal fragen, ob es nicht ein eleganteren Weg gibt, das zu überprüfen, weil 5 solche LGS zu lösen ist sehr zeitraubend.
Was ich noch Fragen möchte:
Ich habe zum Beispiel die folgende Matrix gegeben:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}, [/mm] dann ist der Span doch
Span [mm] A=(\vektor{1 \\ 4 \\ 7}, \vektor{2 \\ 5 \\ 8}, \vektor{3 \\ 6 \\ 9}) [/mm] oder?
Der Span beschreibt doch alle Linearkombinationen oder? Was ist der Unterschied zwischen dem Span und dem Erzeugendensystem und wozu braucht man die lineare Hülle eigentlich?
Danke, DMF
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mo 12.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
Fragen über Fragen. Zumindest zum ersten Teil will ich mich einmal äußern. Insbesondere zu deiner Vorgehensweise.
> Hallo,
> Die Aufgabe lautet wie folgt:
> Gegeben seien die folgenden (paarweise verschiedenen)
> Unterräume des [mm]\IR^5:[/mm]
> [mm]U_1=Span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1})[/mm]
> , [mm]U_2=Span(\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}), U_3=Span(\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}).[/mm]
>
> Für welches i [mm]\in[/mm] {1,2,3} gilt:
> [mm]U_i=Span(\vektor{0 \\ 0 \\ -7 \\ -14 \\ -6}, \vektor{-11 \\ -11 \\ 7 \\ 14 \\ 3}, \vektor{2 \\ 2 \\ 3 \\ 6 \\ 3}, \vektor{4 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> ?
>
> ---------------------------------------------------------------------------------------------
>
> So, ich soll hier ja überprüfen, welches [mm]U_1,U_2[/mm] oder [mm]U_3[/mm]
> die gleiche lineare Hülle hat wie der letzte angegebene
> Span. Das richtige Ergebnis ist [mm]U_3,[/mm] aber auf die Methode
> wie ich es mache ist es eine ziemliche Sisyphusarbeit das
> auszurechnen, hier ist es wie ich es mache:
>
> Ich schreibe die Vektoren in eine Matrix und nehme mir den
> ersten Vektor aus [mm]U_1[/mm] und schaue ob ich ihn als
> Linearkombination darstellen kann:
> [mm]\pmat{ 0 & -11 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -11 & 2 & 4 & 1 \\ -7 & 7 & 3 & 0 & 1 \\ -14 & 14 & 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 & 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Das LGS ist nicht lösbar, also haben sie nicht
> die gleiche lineare Hülle.
>
> Analog mache ich es mit dem ersten Vektor aus [mm]U_2:[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & -11 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -11 & 2 & 4 & 1 \\ -7 & 7 & 3 & 0 & 0 \\ -14 & 14 & 6 & 0 & -1 \\ -6 & 3 & 3 & 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Das LGS ist nicht lösbar, also haben sie nicht
> die gleiche lineare Hülle.
>
> Analog wird es auch für [mm]U_3[/mm] überprüft:
> [mm]\pmat{ 0 & -11 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -11 & 2 & 4 & 1 \\ -7 & 7 & 3 & 0 & 0 \\ -14 & 14 & 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 3 & 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Das LGS ist lösbar, also teste ich es noch mit
> dem zweiten und dritten Vektor aus [mm]U_3:[/mm]
>
> Alle drei LGS sind lösbar, also ist [mm]U_3[/mm] mein gesuchter
> Span!
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------
Hälst du dieses Vorgehen für sinnvoll?
span bedeutet doch (Def. aus Wikipedia):
[mm] \mathrm{span} \{ \mathbf{v}_i : i \in I \} [/mm] := [mm] \{ a_{i_1} \mathbf{v}_{i_1} + \cdots + a_{i_n} \mathbf{v}_{i_n} : a_{i_k} \in K, i_k \in I, n \in \mathbf{N} \} \, [/mm]
Würdest du sagen, für [mm] span_1=\{\vektor{1 \\ 2},\vektor{2 \\ 0}\} [/mm] und [mm] span_2=\{\vektor{1 \\ 0}\} [/mm] gilt: [mm] span_1=span_2 [/mm] ?
Nein, denn [mm] \vektor{0 \\ 1}=\bruch{1}{2}*\vektor{1 \\ 2}+(-\bruch{1}{4})\vektor{2 \\ 0}, [/mm] aber
[mm] \vektor{0 \\ 1}\not=x*\vektor{1 \\ 0}\forall{x}.
[/mm]
also: [mm] span_1\not=span_2.
[/mm]
Nach deiner Vorgehensweise wäre aber:
[mm] \vektor{1 \\ 0}=\lambda_1*\vektor{1 \\ 2}+\lambda_2*\vektor{2 \\ 0} [/mm] ist lösbar, mit [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=\bruch{1}{2} [/mm] und somit ist dann [mm] span_1=span_2. [/mm]
Gesprochen bedeutet [mm] span_1=span_2 [/mm] doch, dass sich alle Vektoren, die sich durch den [mm] span_1 [/mm] (bzw [mm] span_2 [/mm] ) erzeugen lassen auch mit [mm] span_2 [/mm] (bzw [mm] span_1 [/mm] ) erzeugt werden können.
Wir haben aber mit [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] einen Vektor gefunden für den gilt: [mm] \vektor{0 \\ 1}\in{span_1} [/mm] aber [mm] \vektor{0 \\ 1}\notin{span_2}.
[/mm]
Deine Vorgehensweise ist also nicht korrekt.
[mm] \red{Edit:}
[/mm]
Ich würde nach der Dimension der Unterräume gehen. Wenn 2 Unterräume des [mm] \IR^5 [/mm] dieselbe Dimension haben, haben diese den gleichen span.
Stimmt so nicht, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") . Ich poste später noch mal was besseres 
> Ich habe zum Beispiel die folgende Matrix gegeben:
> A= $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}, [/mm] $ dann ist der Span doch
> Span $ [mm] A=(\vektor{1 \\ 4 \\ 7}, \vektor{2 \\ 5 \\ 8}, \vektor{3 \\ 6 \\ 9}) [/mm] $ oder?
Ja.
> Der Span beschreibt doch alle Linearkombinationen oder?
Ja.
MfG barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 12.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
der Übersichtlichkeit wegen, muss ich einen neuen Post aufmachen.
Du kannst nach der Dimension gehen. Zuerst musst du prüfen, welche Dimension jeder der Untervektorräume hat. Nur wenn die Dimension zweier Vektorräume gleich ist, kann gelten: [mm] span_i=span_j.
[/mm]
Wenn du jeweils die Dimension bestimmt und die linear unabhängigen Vektoren eines jeden Untervektorraumes gefunden hast, musst du testen, ob sich jeder Vektor aus [mm] span_i [/mm] mit den Vektoren aus [mm] span_j [/mm] darstellen lässt; das kannst du dann wieder über Gauß machen.
MfG barsch
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> Du kannst nach der Dimension gehen. Zuerst musst du prüfen,
> welche Dimension jeder der Untervektorräume hat. Nur wenn
> die Dimension zweier Vektorräume gleich ist, kann gelten:
> [mm]span_i=span_j.[/mm]
>
> Wenn du jeweils die Dimension bestimmt und die linear
> unabhängigen Vektoren eines jeden Untervektorraumes
> gefunden hast, musst du testen, ob sich jeder Vektor aus
> [mm]span_i[/mm] mit den Vektoren aus [mm]span_j[/mm] darstellen lässt; das
> kannst du dann wieder über Gauß machen.
Alle Unterräume haben hier in dieser Aufgabe die Dimension 3, sprich alle Vektoren hier sind linear unabhängig. Also läuft es dann doch im Prinzip wieder auf meine Methode hinaus, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 13.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo erstmal,
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> > Du kannst nach der Dimension gehen. Zuerst musst du prüfen,
> > welche Dimension jeder der Untervektorräume hat. Nur wenn
> > die Dimension zweier Vektorräume gleich ist, kann gelten:
> > [mm]span_i=span_j.[/mm]
> >
> > Wenn du jeweils die Dimension bestimmt und die linear
> > unabhängigen Vektoren eines jeden Untervektorraumes
> > gefunden hast, musst du testen, ob sich jeder Vektor aus
> > [mm]span_i[/mm] mit den Vektoren aus [mm]span_j[/mm] darstellen lässt; das
> > kannst du dann wieder über Gauß machen.
>
>
> Alle Unterräume haben hier in dieser Aufgabe die Dimension
> 3, sprich alle Vektoren hier sind linear unabhängig. Also
> läuft es dann doch im Prinzip wieder auf meine Methode
> hinaus, oder nicht?
>
Ja!
MfG barsch
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