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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Magnia |
| Aufgabe | | Im Spat ABCDEFGH sei M der Mittelpunkt der Strecke EH und K der Mittelpunkt der Raumdiagonalen AG. Punkt L sei der Schnittpunkt der Verlängerung von MK mit der Ebene BCGF |
a)Weisen sie rechnerisch nach, dass L der Mittelpunkt der Strecke BC ist.
b)In welchem Verhältnis teilt K die Strecke ML
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe einfach mal angenommen, dass die Strecke BL 1/2 [mm] \vec{b} [/mm] ist und konnte damit beweisen, dass K die Srecke ML 1:1 teilt.
Das bedeutet zwar das L der Mittelpunkt der Stecke BC sein muss aber ich komme nicht drauf wie ich dies beweisen kann.
Denn sobald ich einen Beweis aufstelle besteht dieser daraus, dass MK und KL gleich lang sind. Jedoch ist das ja erst in der b) gefordert zu welcher ich aber den Beweis von a) brauche.
Hier die SKIZZE
![[]](/images/popup.gif) http://www.tommyreimann.com/Spat.jpg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Fr 10.02.2006 | | Autor: | riwe |
mit A(0/0/0) sei [mm] \vec{a}= \overrightarrow{AB}, \vec{c}= \overrightarrow{BC}, \vec{c}= \overrightarrow{AE}, [/mm] dann lauten die ortsvektoren von
M: [mm] \vec{c} +\vec{\frac{b}{2}} [/mm] uns K: [mm] \vec{\frac{a}{2}} +\vec{\frac{b}{2}}+ \vec{\frac{c}{2}} [/mm] .
damit heißt die gerade g durch MK:
[mm] \vec{x} =(\vec{c} +\vec{\frac{b}{2}} )+t(\vec{\frac{a}{2}} -\vec{\frac{c}{2}})
[/mm]
und die gerade h durch BC:
[mm] \vec{x} =\vec{a} +s\vec{b} [/mm]
g geschnitten mit h liefert:
[mm] (1-\frac{t}{2})( \vec{c} -\vec{a})=(s-\frac{1}{2}) \vec{b}
[/mm]
da [mm] \vec{a}, \; \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] linear unabhangig sind, folgt:
[mm] 1-\frac{t}{2}=0 [/mm] und [mm] s-\frac{1}{2}=0.
[/mm]
woraus folgt, L halbiert BC und K macht dasselbe mit ML.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Magnia |
Hallo
wie kommst du auf die Gleichung der geraden g durch MK ?
bis zu Punkt M ist klar
aber wie die kombination mit Punkt K ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Sa 11.02.2006 | | Autor: | riwe |
wie üblich: gerade durch 2 punkte P1, P2:
[mm] g: \vec{x}= \overrightarrow{OP_1}+t \overrightarrow{P_2P_1}[/mm]
mit dem ortsvektor von [mm] P_1 :\;\overrightarrow{OP_1} [/mm] als stützvektor (aufpunkt) der geraden und dem richtungsvektor [mm] \overrightarrow{P_2P_1}
[/mm]
und dann hast du hier mit M als aufpunkt
[mm] \overrightarrow{MK}=\vec{\frac{a}{2}}+\vec{\frac{b}{2}}+\vec{\frac{c}{2}}-\vec{c}-\vec{\frac{b}{2}}=\vec{\frac{a}{2}}-\vec{\frac{c}{2}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Magnia |
hallo,
sorry aber ich verstehe das nicht ganz ! wir haben erst mit dem thema begonnen und die von dir genannten begriffe kenne ich leider nicht.
Also soweit verstehe ich es:
von A ausgegangen um M zu erreichen :
[mm] \vec{c}+ \vec{b}/2
[/mm]
um von A an K zu kommen
[mm] \vec{a}/2+ \vec{b}/2+c/2
[/mm]
das ist klar
nun brauchen wir ja die Stecke MK
hier verstehe ich immer noch nicht wie du dies machst ?
$ [mm] \overrightarrow{MK}=\vec{\frac{a}{2}}+\vec{\frac{b}{2}}+\vec{\frac{c}{2}}-\vec{c}-\vec{\frac{b}{2}}=\vec{\frac{a}{2}}-\vec{\frac{c}{2}} [/mm] $
[mm] \vec{\frac{a}{2}}+\vec{\frac{b}{2}}+\vec{\frac{c}{2}} [/mm] bin ich am Punkt K
wieso jetzt aber
[mm] -\vec{c}-\vec{\frac{b}{2}}
[/mm]
wieso ziehst du hier den Weg zum Punkt M ab ?
wir hatten kurz mal angeschnitten, dass man die vektorendifferenzen graphisch darstellen kann - willst du damit ausdrücken, dass die Strecke MK = der differenz von A zu M und A zu K ist ?
doch wieso setzt du das = [mm] \vec{\frac{a}{2}}-\vec{\frac{c}{2}}
[/mm]
dann legst du ja einen Punkt auf der Strecke BC fest
oder ?
[mm] \vec{x}= \vec{a}+ [/mm] s [mm] \vec{b} [/mm] s steht für den faktor oder ?
und guckst ob dieser Punkt verbunden mit der strecke k = MK ist oder sehe ich das falsch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 11.02.2006 | | Autor: | riwe |
[mm] \overrightarrow{MK} [/mm] ist keine strecke, sondern ein vektor, und zwar der richtungsvektor der geraden, die durch die punkte M und K geht, dazu bildest du eben die differenz der beiden ortsvektoren von K und M:
a/2+b/2+c/2 - (c + b/2) = a/2 - c/2. dasselbe mache ich mit der geraden durch B und C. s und t sind die 2 parameter, die ich bestimmen will, indem ich die beiden geraden zum schnitt bringe.
aber kannst du mir einmal sagen, ob ihr schon vektorrechnung macht?
sagt die der begriff lineare unabhängigkeit etwas?
sonst müssen wir halt eine andere methode suchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 12.02.2006 | | Autor: | Magnia |
ja wie gesagt, wir haben das thema angeschnitten. ich habe ja schon vermutet das du den vektor mk durch die differenz errechnest.
mich hatte das "=" nur ein bisschen verwundert dachte du setzt das mit etwas gleich
aber jetzt verstehe ich, wie du auf
$ [mm] \overrightarrow{MK}=\vec{\frac{a}{2}}+\vec{\frac{b}{2}}+\vec{\frac{c}{2}}-\vec{c}-\vec{\frac{b}{2}}=\vec{\frac{a}{2}}-\vec{\frac{c}{2}} [/mm] $
kommst
also is der Vektor
$ [mm] \overrightarrow{MK}= \vec{\frac{a}{2}}-\vec{\frac{c}{2}}
[/mm]
doch das weitere ist mir noch nicht klar !
ich habe jetzt den vektor MK
dann mache ich das selbe mit BC
$ [mm] \vec{x} =\vec{a} +s\vec{b} [/mm] $
s ist also der parameter der 1/2 ergibt ?
doch wie kommst du auf diese gleichung dann
$ [mm] (1-\frac{t}{2})( \vec{c} -\vec{a})=(s-\frac{1}{2}) \vec{b} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 12.02.2006 | | Autor: | riwe |
ich baue das ganze einmal ein bißerl anders auf, ganz ohne geraden, dazu habe ich dir ein bilderl gezeichnet:
wir schauen uns 2 (von vielen möglichen, aber für unser problem wichtige ) weg an, wie man von A nach L kommt:
AEM(K)L und ABL
AEM(K)L: vektoriell dargestellt durch die vektoren [mm] \vec{c}+\frac{\vec{b}}{2}+t \overrightarrow{MK}
[/mm]
mit [mm] \overrightarrow{ML} [/mm] = t [mm] \overrightarrow{MK}, [/mm] d.h. [mm] \overrightarrow{ML} [/mm] ist ein vielfaches von [mm] \overrightarrow{MK}, [/mm] und das t wollen wir bestimmen.
der vektor [mm] \overrightarrow{MK} [/mm] berechnet sich aus der differenz der ortsvektoren von M und K, das hatten wir schon, zu [mm] \overrightarrow{MK}=\frac{\vec {a}}{2}-\frac{\vec {c}}{2}.
[/mm]
wir haben also, um von A über M nach L zu kommen, den vektorpfad
AEML = [mm] \vec{c}+\frac{\vec {b}}{2}+t(\frac{\vec {a}}{2}-\frac{\vec {c}}{2}).
[/mm]
die selbe prozedur nun, um von A über B nach L zu kommen.
ich denke das ist nun klar, oder sonst fragen!
ABL = [mm] \vec{a}+s\cdot \vec{b}.
[/mm]
(wir nehmen dabei an, dass L auf der verbindungsstrecke BC liegt, und wollen s bestimmen. darum habe ich es oben mit den geraden gemacht und deren schnittpunkt bestimmt)
da wir nun am selben punkt angelangt sind, muß gelten AEML = ABL
[mm] \vec{c}+\frac{\vec {b}}{2}+t(\frac{\vec {a}}{2}-\frac{\vec {c}}{2})= \vec{a}+s\cdot \vec{b}.
[/mm]
nun fassen wir alles mit a, bzw. b und c zusammen und erhalten dann:
[mm] \vec{c}\cdot (1-\frac{t}{2})-\vec{a}\cdot (1-\frac{t}{2})=\vec{b}\cdot (s-\frac{1}{2})
[/mm]
[mm] (\vec{c}-\vec{a})\cdot (1-\frac{t}{2})=\vec{b}\cdot (s-\frac{1}{2})
[/mm]
da nun die drei vektoren a, b und c linear unabhängig sind, sonst würden sie in einer ebene liegen und keinen spat aufspannen,können sie nicht als (linear)kombination (der 3. durch die 2 anderen) dargestellt werden.
damit also die obige gleichung korrekt ist, muß gelten, die die faktoren vor den vektoren = 0, woraus folgt:
t = 2 und s = [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
und genau das heißt K halbiert die strecke ML (ML = 2 MK) und L halbiert die strecke BC (BL = [mm] \frac{1}{2}BC).
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 So 12.02.2006 | | Autor: | Magnia |
vielen Dank für die viele Mühe - es hat sich gelohnt, denn ich habe es verstanden ;)
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![[]](http://www.tommyreimann.com/Spat.jpg){kind=small}
http://www.tommyreimann.com/Spat.jpg