Spektralmaß < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei [mm] $\sum$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $E:\sum \to [/mm] L(H)$ ein Spektralmaß, also
a) Für jede Menge [mm] $A\in \Sum$ [/mm] ist [mm] $E_A:=E(A)$ [/mm] eine Orthogonalprojektion
b) [mm] $E_\emptyset=0, E_\Omega=Id$
[/mm]
c) Für paarweise disjunkte [mm] $A_1,A_2,... \in \sum$ [/mm] gilt
[mm] $\sum^\infty_{i=1}E(A_i)x=E(\bigcup_i A_i)x$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] H$
Nun soll nach Werner FA ganz automatische die folgende Eigenschaft folgen:
[mm] $E(A)E(B)=E(B)A(A)=E(A\cap [/mm] B)$
bzw. $E(A)E(B)=0$, wenn [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm] |
Leider habe ich nun eine ganze Seite vollgeschrieben und finde einfach keinen einfachen Weg. Vielleicht gibt es hier jemanden, der das Problem schon kennt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Das Problem kenne ich gut.
Du sollst zeigen: (*) $ [mm] E(A)E(B)=E(B)E(A)=E(A\cap [/mm] B) $
Versuche mal folgendes zu zeigen (das kann man immer mal wieder brauchen)
SATZ: Seien P und Q Orthogonalprojektionen. Dann sind äquivalent:
(1) PQ = QP = P
(2) P(H) [mm] \subseteq [/mm] Q(H)
(3) kern(Q) [mm] \subseteq [/mm] kern(P)
Wenn Du das hast , sollte (*) kein Problem sein.
FRED
|
|
|
| |
|
Ok. Den Satz habe ich mir bewiesen. Danke dir 
Ich wähle nun [mm] $P=E(A\cap [/mm] B)$ und $Q=E(X)$, $X=A,B$. Dann folgt mit dem Satz
[mm] $E(A\cap B)E(X)=E(X)E(A\cap B)=E(A\cap [/mm] B)$, $X=A,B$.
Daraus könnte man folgern:
[mm] $E(A\cap B)E(B)E(A)=E(A)E(B)E(A\cap B)=E(A\cap [/mm] B)$,
aber ich sehe noch nicht, was das jetzt bringt? Ich habe auch noch nicht wirklich die Eigenschaften des Spektralmaßes benutzt! Hast du noch einen Tipp? Bin ich auf der richtigen Spur?
Frank
|
|
|
| |
|
Ich könnte auch folgendes zeigen:
[mm] $I=E(A)+E(B)+E(A^c\cap B^c)$,
[/mm]
falls $A$ und $B$ disjunkt, d.h. ich will ersteinmal [mm] $E_AE_B=0$ [/mm] zeigen.
Anwenden von $E(A)$ ergibt (beachte $E(X)E(X)=E(X)$
[mm] $E(A)E(B)+E(A)E(A^c\cap B^c)=0$
[/mm]
Ich muss also zeigen: [mm] $E(A)E(A^c\cap B^c)=0$. [/mm] Wie mache ich das mit dem Tipp von Dr. Fred97?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Sa 29.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Fr 28.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
