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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Spektrum sowie Eigenwerte
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Spektrum sowie Eigenwerte: Hilfe bei Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 So 18.05.2014
Autor: Killercat

Aufgabe
Berechnen Sie das Spektrum sowie die Eigenvektoren der Matrix

[mm] \begin{pmatrix} cos z & -sin z\\ sin z & cos z \end{pmatrix} [/mm]

Guten fast Abend,

Ich hab eine Frage zu der Aufgabe da oben. Und zwar bin ich mir bei der Berechnung der Eigenwerte nicht sicher. Das charakteristische Polynom lautet ja meines wissens nach
[mm] det(A-\lambda I) = 1-2cos(\phi)+ \lambda^2 [/mm]
Das läuft beim Umformen ja darauf hinaus, dass  ...=cos(..) auftaucht, welcher ja periodische Nullstellen hat. Wie geh ich damit um?

Liebe grüße

        
Bezug
Spektrum sowie Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 So 18.05.2014
Autor: hippias


> Berechnen Sie das Spektrum sowie die Eigenvektoren der
> Matrix
>  
> [mm]\begin{pmatrix} cos z & -sin z\\ sin z & cos z \end{pmatrix}[/mm]
>  Guten
> fast Abend,
>  
> Ich hab eine Frage zu der Aufgabe da oben. Und zwar bin ich
> mir bei der Berechnung der Eigenwerte nicht sicher. Das
> charakteristische Polynom lautet ja meines wissens nach
>  [mm]det(A-\lambda I) = 1-2cos(\phi)+ \lambda^2[/mm]

Nein. D.h. es kommt darauf, was das [mm] $\phi$ [/mm] sein soll.

>  Das läuft
> beim Umformen ja darauf hinaus, dass  ...=cos(..)
> auftaucht, welcher ja periodische Nullstellen hat. Wie geh
> ich damit um?

Koenntest du praeziser fragen: Wie lautet deine Gleichung genau? Worin besteht das Problem?

>  
> Liebe grüße


Bezug
                
Bezug
Spektrum sowie Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 So 18.05.2014
Autor: Killercat

Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das sollte in meinem Fall ja [mm] 1- 2 cos (\phi) \lambda +\lambda^2 [/mm] sein. Form ich das um komm ich auf folgendes:
[mm]2cos \phi = \frac {1} {\lambda} + \lambda [/mm]
Was sind jetzt die Nullstellen dieses Polynoms?
( [mm] \phi [/mm] ist aus den reellen Zahlen.

Bezug
                        
Bezug
Spektrum sowie Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 So 18.05.2014
Autor: hippias

Ich nehme an, dass du [mm] $\phi$ [/mm] mit $z$ verwechselt hast.

Die Gleichung ist fuer [mm] $\lambda$ [/mm] eine quadratische Gleichung. Eine solche kann man mittels quadratischer Ergaenzung loesen.

Bezug
                                
Bezug
Spektrum sowie Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 So 18.05.2014
Autor: Killercat

Man sollte bei der Wahl seiner Variablen konsistent bleiben, das stimmt schon.

Letztlich ist der Kosinus ja auch nur eine Zahl...
Ich mach einfach mal und meld mich nochmal wenn was sein wollte.

Danke schonmal an dieser Stelle

Bezug
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