Spezialfall vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 11.03.2008 | | Autor: | WiWi |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] \produkt_{a=1}^{n}a \le 4(\bruch{n}{2})^{n+1}
[/mm]
|
Hallo alle miteinander!
Ich hänge da gerade ein wenig. Vielleicht könnt ihr mir helfen!
Die Aufgabe habe ich soweit gelöst und komme nach einigen Umformungen auf
[mm] 2(\bruch{k}{2})^{k+1} \le (\bruch{k+1}{2})^{k+1}
[/mm]
Das Ergebnis solle eigentlich richtig sein. Die Frage ist nur: Was mache ich damit? Wie kann ich sehen, dass die linke Seite wirklich kleiner ist als die rechte? Ich habe schon alle möglichen Umformungen probiert, aber irgendwie scheint mir das niemals eindeutig.
Wäre toll, wenn mir da jemand einen Tipp für eine Umformung oder Regel geben könnte, die das Verhältnis offensichtlich macht.
VG,
Wiwi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
die ungleichung, so, wie sie in der aufgabenstellung steht, ist falsch
schon für k=3...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Di 11.03.2008 | | Autor: | WiWi |
Ja, hast recht... bin in der Zeile verrutscht. Sry. :(
Nun ist die Ausgangsformel korrekt... das Problem bleibt aber bestehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
hmm... ja, scheint doch was kniffliger zu sein...^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 11.03.2008 | | Autor: | WiWi |
Also ursprünglich galt es zu beweisen:
n! [mm] \le 4(\bruch{n}{2})^{n+1}
[/mm]
Ich habe das mal mit dem Produktoperator umgeschrieben. Ich hoffe, das war nicht falsch?
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich denke, deine Aufgabensrtellung passt nun so, wie sie ist.
Das Problem liegt also im Induktionsschritt $n\to n+1$
ok, zu zeigen ist ja, dass unter der Induktionsvoraussetzung $\prod\limits_{a=1}^{n}a\le 4\left(\frac{n}{2}\right)^{n+1}$ für ein beliebiges, aber festes $n$ gefälligst auch $\prod\limits_{a=1}^{n+1}a\le 4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+2}$ ist
Ich hab's etwas trickreich herausbekommen, vllt. geht's einfacher.
Aber mal meine Idee:
Also $\prod\limits_{a=1}^{n+1}a=\left(\prod\limits_{a=1}^{n}a\right)\cdot{}(n+1)\le 4\left(\frac{n}{2}\right)^{n+1}\cdot{}(n+1)$ nach Ind.vor.
Das nun mit ner geschickten 1 multiplizieren, nämlich mit $\blue{\left(\frac{n+1}{n+1}\right)^{n+1}}$
Das gibt: $...=4\left(\frac{n}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot{}(n+1)$
$=4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}n^{n+1}\cdot{}\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\cdot{}(n+1)$
$=4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}}\cdot{}(n+1)$
$=4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n\red{+1-1}}{n+1}\right)^{n+1}}\cdot{}(n+1)$
$=4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\blue{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}}\cdot{}(n+1)$
$\le 4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\blue{\frac{1}{e}}\cdot{}(n+1)$
$=4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{e}$
$\le 4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{2}=4\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+2}$
Puh, ich hoffe, es haben sich keine Fehler eingeschlichen 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 23:48 Di 11.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ich hab's nur oberflächlich kontrolliert, aber das sieht doch ganz gut aus
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 11.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
>
> [mm]\produkt_{a=1}^{n}a \le 4(\bruch{n}{2})^{n+1}[/mm]
>
>
> Hallo alle miteinander!
>
> Ich hänge da gerade ein wenig. Vielleicht könnt ihr mir
> helfen!
>
> Die Aufgabe habe ich soweit gelöst und komme nach einigen
> Umformungen auf
> [mm]2*\left(\bruch{k}{2}\right)^{k+1} \le \left(\bruch{k+1}{2}\right)^{k+1}[/mm]
das gilt
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \le \left(\frac{\frac{k+1}{2}}{\frac{k}{2}}\right)^{k+1}$ $(\*)$
[/mm]
Und nun beachte: [mm] $\frac{\frac{k+1}{2}}{\frac{k}{2}}=1+\frac{1}{k}$, [/mm] woraus oben folgt:
[mm] $(\*)$ $\gdw [/mm] 2 [mm] \le \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}$
[/mm]
Wenn Du Dich nun mit der Eulerschen Zahl $e$ auskennst, dann solltest Du wissen, dass die Folge
[mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN}$
[/mm]
monoton fallend gegen $e$ ist (und damit insbesondere durch $e$ nach unten beschränkt), und man weiß zudem, dass $e [mm] \approx [/mm] 2,7$ und damit insbesondere $e [mm] \ge [/mm] 2$ gilt.
D.h. genauer sogar:
Es gilt
[mm] $\forall [/mm] k [mm] \in \IN$: [/mm] $e < [mm] \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}$
[/mm]
und damit insbesondere:
[mm] $\forall [/mm] k [mm] \in \IN$: [/mm] $2 [mm] \le \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}$
[/mm]
Wie oben gesehen folgt daraus [mm] $(\*)$, [/mm] also genau die Ungleichung, die Du noch begründen musstest.
P.S.:
Das ganze, also meine Aussagen bzgl. der Folgen [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN}$, [/mm] kannst Du z.B. hier nochmal "auffrischen", wobei der Beweis für die zweite Folge dort als Ü-Aufgabe überlassen wurde. Falls starkes Interesse besteht, führe ich Dir den auch gerne hier nochmal vor, bis dahin:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Beispiel 5.13
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 12.03.2008 | | Autor: | WiWi |
Herzlichen Dank. Das mit der eulerschen Zahl war eine verdammt gute Idee... nun ist es klar.
VG,
Wiwi
|
|
|
|
