Spezialfall von Tychonoff < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Di 04.06.2013 | | Autor: | jack1975 |
| Aufgabe | | Sei die Menge [mm] $\{0,1\}$ [/mm] versehen mit der diskreten Topologie. Zeige, dass dann [mm] $\produkt_{i=1}^{\infty} \{0,1 \}$ [/mm] kompakt ist. |
Also ich habe versucht es direkt über die Produkttopologie zu machen. Wenn ich mit einer offenen Überdeckung starte und eine beliebige offene Menge daraus hernehme, weiß ich ja, dass alle bis auf endlich viele Komponenten dieser Menge schon [mm] $\{0,1 \}$ [/mm] sein muss. Aber die endlich vielen fehlenden Komponenten kann man ja dann nicht einfach überdecken, oder? Denn diese anderen offenen Mengen der Überdeckung haben ja eventuell andere Lücken.
Wir haben kurz zuvor zeigen müssen, dass die Produktmetrik die Produkttopologie auf diesem Raum erzeugt. Da wir aber nicht wissen, dass Folgenkompaktheit äquivalent zu Überdeckungskompaktheit ist, bringt mich das ja nicht wirklich weiter, oder übersehen ich da etwas?
Vielen Dank, bin für jeden Hinweis dankbar :). Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Mi 05.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Du musst doch nur zeigen, dass $ [mm] \{0,1\} [/mm] $ kompakt ist !
Dazu überdecken wir $ [mm] \{0,1\} [/mm] $ mit einer Familie [mm] (G_i)_{i \in I} [/mm] offener Mengen.
Mach Dir klar, dass Du dann nur 2 Mengen dieser Familie brauchst, um $ [mm] \{0,1\} [/mm] $ zu überdecken.
FRED
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Hallo Fred,
naja, dass die endliche Punktmenge [mm] $\{ 0,1\}$ [/mm] kompakt ist, ist mir klar. Es ging eben darum den Satz von Tychonoff nicht zu benutzen, sondern diesen Spezialfall zu beweisen. Mein Problem ist, dass ich nicht wirklich sehe wie ich hier die Endlichkeit der einzelnen Räume sinnvoll einbringen kann. Zu zeigen, dass der Raum folgenkompakt ist, wäre kein Problem, nur das scheint nicht das Ziel zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 07.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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