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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 So 03.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man zeigen, dass die Einheitssphäre [mm] S^{1}:=\{x \in \IR^{2}: \parallel x \parallel_{2}=1 \} \subset \IR^{2} [/mm] im euklidischen Raum [mm] \IR^{2} [/mm] zusammenhängend ist. |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht ganz klar.
Zunächst ist [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}=\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}=1.
[/mm]
Daraus folgt [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1, [/mm] wobei [mm] x=\vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2}.
[/mm]
Zu zeigen ist: Es existieren keine offenen, disjunkten Teilmengen U,V mit [mm] S^{1} \subset [/mm] U [mm] \cup [/mm] V, [mm] S^{1} \cap [/mm] U [mm] \not=\emptyset, S^{1} \cap [/mm] V [mm] \not=\emptyset.
[/mm]
Ich wollte das ganze mit Widerspruchsbeweis machen.
Also angenommen [mm] S^{1} [/mm] ist nicht zusammenhängend. Dann existieren o.g. Teilmengen U und V. Sei weiterhin x [mm] \in S^{1}. [/mm] Dann liegt x entweder in U oder in V. Nach Vorraussetzung gilt [mm] S^{1} \cap [/mm] U [mm] \not=\emptyset [/mm] und [mm] S^{1} \cap [/mm] V [mm] \not=\emptyset.
[/mm]
Jetzt will ich irgendwie [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 [/mm] benutzen, aber weiß nicht genau wie.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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Mußt du das mit der Definition machen? Oder kennst du schon Sätze über den Zusammenhang, z.B. den, daß der Zusammenhang unter stetigen Funktionen erhalten bleibt? Dann versuche, den Kreis als stetiges Bild eines Intervalls zu beschreiben. Und Intervalle sind zusammenhängend. Oder mußt du auch das noch nachweisen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Mußt du das mit der Definition machen? Oder kennst du
> schon Sätze über den Zusammenhang, z.B. den, daß der
> Zusammenhang unter stetigen Funktionen erhalten bleibt?
> Dann versuche, den Kreis als stetiges Bild eines Intervalls
> zu beschreiben. Und Intervalle sind zusammenhängend. Oder
> mußt du auch das noch nachweisen?
Ja den Satz kenn ich,unzwar so: Seien X,Y metrische Räume, wobei X zusammenhängend ist und f: X [mm] \to [/mm] Y eine stetige Abbildung.
Dann ist f(x) zusammenhängend als Teilmenge in Y.
Ich würde jetzt eine Abbildung definieren:
[mm] f:\IR \to S^{1}, [x_{1},x_{2}] \mapsto \vektor{x_{1} \\ x_{2}}.
[/mm]
Zu zeigen ist also, dass f stetig ist.
Wir hatten in der Vorlesung, dass eine Funktion stetig ist, falls das Urbild abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist.
Nun sind die Intervalle [mm] [x_{1},x_{2}] [/mm] immer abgeschlossen, von daher ist es egal ob das Bild abgeschlossen ist oder nicht.Eigentlich folgt die Stetigkeit doch schon oder hab ichs mir zu leicht?
Ich müsste halt noch benutzen, dass [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
[/mm]
Ich werde die Stetigkeit gleich nochmal versuchen auf anderen Wegen zu zeigen, aber ich wüsste gern, ob diese Argumentation auch geht.
Vielen Dank
lg
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Nein, so geht das nicht. Du mußt konkret (!) eine stetige Abbildung angeben, die den Kreis als Bild hat. Stichwort: Parameterdarstellung eines Kreises.
Und die Sache mit den abgeschlossenen Mengen stimmt auch nicht. Wenn man sagt: Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, dann wäre das für jede abgeschlossene Menge im Bildraum zu untersuchen und nicht nur für die gesamte Menge. So, wie du das machst, wäre ja jede Abbildung der Welt stetig.
Aber das ist erst einmal nebensächlich. Kümmere dich zunächst um die Parameterdarstellung ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Leopold_Gast,
vielen Dank erstmal für deine Tipps.
> Nein, so geht das nicht. Du mußt konkret (!) eine stetige
> Abbildung angeben, die den Kreis als Bild hat. Stichwort:
> Parameterdarstellung eines Kreises.
> gesamte Menge. So, wie du das machst, wäre ja jede
> Abbildung der Welt stetig.
Das wäre doch echt zu schön um wahr zu sein.
>
Ich hab mir jetzt eine Funkion überlegt:
f: [mm] \IR^{2} \to S^{1}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^{2}+y^{2}, [/mm] bzw.
mit den Intervallen wie du es im ersten Post vorgeschlagen hast und der Parameterdarstellung des Kreises habe ich die Funktion
g: [mm] [0,2\pi] \to S^{1}, \phi \mapsto sin^{2}(\phi)+cos^{2}(\phi).
[/mm]
Dann wollte ich die Stetigkeit der Funktion g zeigen, aber es gibt ein Problem. In der Aufgabe ist die euklidische Metrik im [mm] \IR^{2} [/mm] gegeben, also würde die Dunktion überhapt nicht funktionieren, weil ich da nur im [mm] \IR [/mm] bin. Dann kann ich den Kreis doch nicht als Bild von Intervallen darstellen oder wie meinst du das?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo mandy
kennst du wirklich keine Parameterdarstellung des Einheitskreises ,in dem das Intervall [mm] [0,2\PI] [/mm] ODER [O,1] durch bekannte setige Funktionen auf den kreis abgebildet wird?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 07.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> kennst du wirklich keine Parameterdarstellung des
> Einheitskreises ,in dem das Intervall [mm][0,2\PI][/mm] ODER [O,1]
> durch bekannte setige Funktionen auf den kreis abgebildet
> wird?
Ich kenne die stetige Funktion [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^{n}.
[/mm]
Und den Einheitskreis kann man noch durch die e-Funktion darstellen,also [mm] e^{i*\phi}=cos \phi+i*sin \phi.Dann [/mm] könnte ich die Funktion
f: [0,1] [mm] \to S^{1}, \phi \mapsto e^{i*\phi} [/mm] nehmen.
Aber was anderes kenne ich jetzt wirklich nicht.
Ist diese Funktion irgendwie brauchbar?
Mir fällt grad auf, dass es doch nicht geht, da [mm] e^{i*\phi} [/mm] nicht in [mm] \IR^{2} [/mm] liegt.
Ich bin grad etwas überfordert mit der Aufgabe, ich kenne sonst keine Parameterdrastellung des Kreises als die angegebenen.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
>
> > kennst du wirklich keine Parameterdarstellung des
> > Einheitskreises ,in dem das Intervall [mm][0,2\PI][/mm] ODER [O,1]
> > durch bekannte setige Funktionen auf den kreis abgebildet
> > wird?
>
> Ich kenne die stetige Funktion [0,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto x^{n}.[/mm]
>
> Und den Einheitskreis kann man noch durch die e-Funktion
> darstellen,also [mm]e^{i*\phi}=cos \phi+i*sin \phi.Dann[/mm] könnte
> ich die Funktion
>
> f: [0,1] [mm]\to S^{1}, \phi \mapsto e^{i*\phi}[/mm] nehmen.
>
So dicht dran und doch daneben...
Wie wärs mit
[mm] $f(t)=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}$ [/mm] ($t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi$] [/mm] ) ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 07.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wie wärs mit
>
> [mm]f(t)=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}[/mm] ([mm]t \in [0,2 \pi[/mm]] ) ?
>
Das ist aber ärgerlich!!!!
Tausend Dank Fred.
lg
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:56 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Bild einer abg. Menge unter einer stetigen Abbildung muss nicht nicht abg. sein. Das Urbild einer abg. menge ist abg.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 05.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du nimmst einen Punkt [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] der Einheitssphäre in U und einen [mm] $(y_1,y_2)$ [/mm] in V. Jetzt gibt es einen Pfad von x nach y, bei dem alle Punkte des Pfades in der Einheitssphäre liegen...
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Hi,
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> Du nimmst einen Punkt [mm](x_1,x_2)[/mm] der Einheitssphäre in U
> und einen [mm](y_1,y_2)[/mm] in V. Jetzt gibt es einen Pfad von x
> nach y, bei dem alle Punkte des Pfades in der
> Einheitssphäre liegen...
Was genau meinst du mit U und V? Das wurde in der Aufgabe noch nicht definiert.
> ciao
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Do 07.07.2011 | | Autor: | Blech |
Die hast Du doch oben selber als zwei hypothetische Mengen definiert, die [mm] $S^1$ [/mm] aufspalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | b) Sei [mm] f:S^{1} \to \IR. [/mm] Man zeige, dass dann ein Punkt x [mm] \in S^{1} [/mm] existiert mit f(x)=f(-x).
Hinweis: Man nutze den Zwischenwertsatz für h(x):=f(x)-f(-x). |
Hallo,
ich hab noch die b) gemacht.
f(x)=f(-x) ist doch äquivalent zu f(x)-f(-x)=0=h. Ich könnte also zeigen, dass h eine Nullstelle hat.
Zunächst gilt wegen dem Zwischenwertsatz von h:
Seien a,c [mm] \in [/mm] h(x), d.h. es existieren [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] X derart, dass [mm] h(x_{1})=f(x_{1})-f(-x_{1})=a [/mm] und [mm] h(x_{2})=f(x_{2})-f(-x_{2})=c, [/mm] wobei [mm] x_{1},x_{2} \in S^{1}
[/mm]
Sei weiterhin a<b<c. Dann folgt, dass ein x' [mm] \in S^{1} [/mm] existiert mit h(x')=f(x')-f(-x')=b.
Jetzt wähle ich mir einen Punkt x [mm] \in S^{1} [/mm] und würde gerne die Stetigkeit von f nutzen. Kann ich nicht sagen, dass wegen der Stetigkeit von f gilt:|f(x)-f(-x)|< [mm] \varepsilon [/mm] für ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit |x-(-x)=2x|< [mm] \delta [/mm] für ein [mm] \delta [/mm] >0?
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Was bringt mir jetzt die Stetigkeit?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du inzwischen , dass [mm] S^1 [/mm] abgeschlossen ist? als Urbild der Punktes 1 (abgeschl) in R unter der stetigen Abbildung [mm] R^2 [/mm] nach R [mm] x^2+y^2? [/mm]
dann nimmt f auf [mm] S^1 [/mm] sein min und sein max an.
nenne x1 den punkt auf dem es sen Min annimmt, x2 den auf dem es sein max annimmt. dann ist dein h(x) mal pos mal negativ. und du kannst den ZW satz verwenden (wiel mit f auch h stetig ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 07.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> Hast du inzwischen , dass [mm]S^1[/mm] abgeschlossen ist? als
> Urbild der Punktes 1 (abgeschl) in R unter der stetigen
> Abbildung [mm]R^2[/mm] nach R [mm]x^2+y^2?[/mm]
> dann nimmt f auf [mm]S^1[/mm] sein min und sein max an.
> nenne x1 den punkt auf dem es sen Min annimmt, x2 den auf
> dem es sein max annimmt. dann ist dein h(x) mal pos mal
> negativ. und du kannst den ZW satz verwenden (wiel mit f
> auch h stetig ist.
Wenn ich dich richtig verstehe, lautet das Argument doch so:
Wir haben die stetigen Funktionen g: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^{2}+y^{2}. [/mm] Da {1} als Bild abgeschlossen ist, ist auch dar Urbils davon, [mm] S^{1}, [/mm] abgeschlossen.
Da [mm] S^{1} [/mm] abgeschlossen ist, ist [mm] S^{1} [/mm] auch beschränkt, d.h. [mm] S^{1} [/mm] ist kompakt.
Da dies gilt, kann ich den Satz von weierstrass anwenden, und f nimmt auf [mm] x_{1} [/mm] sein Minimum und auf [mm] x_{2} [/mm] sein Maximum an.
Aber wieso muss h jetzt mal positiv und mal negativ werden, es könnte doch auch immer positiv sein?
Jetzt wende ich den Zwischenwertsatz auf h an mit [mm] h(x_{1})=inf\{h(x):x \in X\}=:a [/mm] und [mm] h(x_{2})=sup\{h(x): x \in X\}=:c [/mm] und betrachte a< b < c.
Da h mal positiv und mal negativ wird, muss h auch eine Nullstelle x' haben sodass h(x')=b=0 ist.
Richtig so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Do 07.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
h(x)=f(x)-f(-x)
x1 sei der Punkt an dem f sein Min annimmt x2 das max
h(x1)=f(x1)-f(-x1) 2 Fälle auch bei -x1 ist f minimal, fertig f(x1)=f(-x1)
b) f(x1)<f(-(x1) h negativ.
ebenso h(x2) pos.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Do 07.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> h(x)=f(x)-f(-x)
> x1 sei der Punkt an dem f sein Min annimmt x2 das max
> h(x1)=f(x1)-f(-x1) 2 Fälle auch bei -x1 ist f minimal,
> fertig f(x1)=f(-x1)
> b) f(x1)<f(-(x1) h negativ.
> ebenso h(x2) pos.
> gruss leduart
>
Ok, jetzt ist es klar.
Vielen viele Dank für die Mühe.
lg
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