Spiegelung an Ebene mit Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Was ist die Matrix a) der Spiegelung an der Ebene senkrecht zum Vektor (1,1,1), b) der Spiegelung an der Geraden [mm] \IR(1,1,1) [/mm] und c) der Spiegelung am Nullpunkt. |
Hi,
Spiegelungen, sind ja wie Drehungen auch lineare Abbildungen, d.h. durch linksmult. mit einer Matrix darstellbar.
Aber wie lässt sich solch eine Matrix konstruieren?
Theoretisch müsste ich ja irgendwie Standardvektoren finden, ihre Abbildung wie sie z.B. die obige Aufgabe fordert und dann die Koordinaten der Abbildungen als Spalteneinträge der Abbildungsmatrix benutzen.
Für eine Spiegelung in [mm] \IR^2 [/mm] an einer Nullpunktgeraden kann ich gerade noch so eine Abbildung der Standardvektoren finden, und mir so meine Matrix basteln. Im 3D gelingt mir dies allerdings nicht.
Gruß,
Rutzel
(heute muss ich euch leider mit Fragen bombardieren, irgendwie habe ich das mit Drehungen und Spiegelungen nicht richtig verdaut...)
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Eigentlich sagst Du es ja schon selbst: Du kannst eine Dreh-Matrix verwenden und setzt in den Winkel 180° ein, dann hast Du Deine Punktspiegelung schon!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
ja und wie geht eine spiegelung an einer ebene/geraden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ImperatoM |
Das mußt Du schon etwas konkretisieren. Was willst Du spiegeln und woran? Eine Spiegelung anbeliebigen Ebenen oder Gerade ist mMn nicht zwangsläufig ein Homomorphsmus udn daher auch gar nicht unbedingt per Matrixmultiplikation darstellbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
nun, ich kann es nicht genauer angeben, da die aufgabe so wortwörtlich auf dem blatt steht.
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Also wenn wir hier von Homomorphismen in Vektorräumen reden: Da muß definitiv gelten, daß f(0)=0.
das gilt nur dann für Spiegelungen an Geraden/Ebenen, wenn diese durch den Nullpunkt laufen, was bei beliebigen Geraden/Ebenen ja nicht der Fall ist...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:59 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
dann muss man dies wohl stillschweigend vorraussetzen.
gibt es keinen "algorithmus" um solch eine Matrix zu finden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 10.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Sa 08.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Also wenn wir hier von Homomorphismen in Vektorräumen
> reden: Da muß definitiv gelten, daß f(0)=0.
> das gilt nur dann für Spiegelungen an Geraden/Ebenen, wenn
> diese durch den Nullpunkt laufen, was bei beliebigen
> Geraden/Ebenen ja nicht der Fall ist...
Die Ebenen, Geraden und Punkte aus Rutzels Frage enthalten alle den Nullpunkt.
Wie man bei solchen Untervektorraeumen vorgeht hat leduart ja schon geschrieben. (Wenn man's etwas konkreter hoeren moechte: man sucht eine Orthogonalbasis, deren erste $n$ Vektoren in dem Untervektorraum liegen an dem gespiegelt werden soll. Also: Basisfortsetzung + Gram-Schmidt.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 08.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Eigentlich sagst Du es ja schon selbst: Du kannst eine
> Dreh-Matrix verwenden und setzt in den Winkel 180° ein,
> dann hast Du Deine Punktspiegelung schon!
Eine Drehungsmatrix im [mm] $\IR^3$ [/mm] hat Determinante 1, eine Punktspiegelungsmatrix im [mm] $\IR^3$ [/mm] hat Determinante -1. So geht das also nicht.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Fr 07.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du nur das Bild von 3 Vektoren brauchst um die Matrix zu finden:
Vektoren in der Ebene sind Eigenvektoren mit Eigenwert 1. der matrix, Vektoren senkrecht zur Ebene werden auf die negativen abgebildet. Also auch Eigenvektoren mit Eigenwert -1.
Entsprechend überlegst du dir die anderen abbildungen.
Gruss leduart
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