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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Spiegelung an der Nebendiagonalen
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Spiegelung an der Nebendiagonalen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Do 10.06.2004
Autor: mausi

Man zeige: Sei A ein quadratische Matrix und [mm] \tilde A [/mm], die Matrix, die aus A durch Spiegelung an
der Nebendiagonale hervorgeht, dann ist det(A) = det( [mm] \tilde A [/mm]).(Die Nebendiagonale wird durch die Einträge [mm] a_n_1,a_n_1_,_2,.....,a_1_,_n [/mm] gebildet)
ich hab kein Plan wie man da vorgeht,hat jemand eine Idee???

        
Bezug
Spiegelung an der Nebendiagonalen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Do 10.06.2004
Autor: Marc

Hallo mausi,

> Man zeige: Sei A ein quadratische Matrix und [mm]\tilde A [/mm], die
> Matrix, die aus A durch Spiegelung an
>  der Nebendiagonale hervorgeht, dann ist det(A) = det(
> [mm]\tilde A [/mm]).(Die Nebendiagonale wird durch die Einträge
> [mm] a_n_1,a_n_1_,_2,.....,a_1_,_n [/mm] gebildet)
>  ich hab kein Plan wie man da vorgeht,hat jemand eine
> Idee???

hattet ihr denn schon den Laplace'schen Entwicklungssatz?
Falls ja, dann entwickle doch mal [mm] $\det [/mm] A$ nach der 1. Zeile und [mm] $\det\tilde [/mm] A$ nach der letzten Spalte und vergleiche die Ergebnisse.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
Spiegelung an der Nebendiagonalen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mi 16.06.2004
Autor: Chriskoi


> Hallo mausi,
>  
> > Man zeige: Sei A ein quadratische Matrix und [mm]\tilde A [/mm],
> die
> > Matrix, die aus A durch Spiegelung an
>  >  der Nebendiagonale hervorgeht, dann ist det(A) = det(
>
> > [mm]\tilde A [/mm]).(Die Nebendiagonale wird durch die Einträge
>
> > [mm]a_n_1,a_n_1_,_2,.....,a_1_,_n[/mm] gebildet)
>  >  ich hab kein Plan wie man da vorgeht,hat jemand eine
>
> > Idee???
>  
> hattet ihr denn schon den Laplace'schen Entwicklungssatz?
>  Falls ja, dann entwickle doch mal [mm]\det A[/mm] nach der 1. Zeile
> und [mm]\det\tilde A[/mm] nach der letzten Spalte und vergleiche die
> Ergebnisse.
>  
> Viele Grüße,
>  Marc
>  

Hallo,

mich würde hier mal die allgemeine Lsg. oder vielmehr der Beweis interessieren.

Nach Laplace habe ich das ganze schon mal für n=3 und n=4 durch gerechnet. Die neu entstandenen kleineren Determinaten sind dann auch an der Nebendiagonalen gespiegelt. D.h. es werden praktisch nur die Faktoren in den Diagonalen getauscht, was aber nichts am Wert des Produktes ändert.

Nun meine Frage, reichen da meine zwei Beispiele als Beweis aus oder kann man das noch irgendwie elegant aufschreiben?

Mfg Chriskoi

Bezug
                        
Bezug
Spiegelung an der Nebendiagonalen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Mi 16.06.2004
Autor: Julius

Hallo!

Der formale Beweis würde so gehen:

[mm]\det(\tilde{A})[/mm]

[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i,\sigma(i)}[/mm]

[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{n-\sigma(i)+1,n-i+1}[/mm]

[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}[/mm]

(denn die Reihenfolge der [mm] $\green{n}$ [/mm] Faktoren darf man vertauschen)

[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]

(wiederum eine Vertauschung der [mm] $\green{n}$ [/mm] Faktoren)

[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]

(denn [mm] $\green{sig(\sigma^{-1}) = sig(\sigma)}$) [/mm]

[mm]= \sum\limits_{\sigma^{-1} \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]

(denn die Reihenfolge der Summanden darf man ebenfalls vertauschen)

[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma)\prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}[/mm]

(dies ist nur eine Umbenennung)

[mm]= \det(A)[/mm].

Liebe Grüße
Julius



Bezug
                                
Bezug
Spiegelung an der Nebendiagonalen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Mi 16.06.2004
Autor: Chriskoi


> Hallo!
>  
> Der formale Beweis würde so gehen:
>  
> [mm]\det(\tilde{A})[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i,\sigma(i)}[/mm]
>  
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{n-\sigma(i)+1,n-i+1}[/mm]
>  
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}[/mm]
>  
>
> (denn die Reihenfolge der [mm]\green{n}[/mm] Faktoren darf man
> vertauschen)
>  
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
>  
>
> (wiederum eine Vertauschung der [mm]\green{n}[/mm] Faktoren)
>  
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
>  
>
> (denn [mm]\green{sig(\sigma^{-1}) = sig(\sigma)}[/mm])
>  
> [mm]= \sum\limits_{\sigma^{-1} \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
>  
>
> (denn die Reihenfolge der Summanden darf man ebenfalls
> vertauschen)
>  
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma)\prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}[/mm]
>  
>
> (dies ist nur eine Umbenennung)
>  
> [mm]= \det(A)[/mm].
>  
> Liebe Grüße
>  Julius
>  
>
>  

Vielen Dank Julius

wenn ich richtig liege hat dieser Ansatz was mit der Leibnitz Formel und den Permutationen zu tun, richtig?

Ich hatte auch ein Idee in der Richtung angestrebt, bin aber irgendwie nicht weiter gekommen.

Also danke nochmal

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