Spiegelung im Raum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 So 14.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 5.8.
Bezeichne S die Spiegelung von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] an der Ebene E, die von den Vektoren [mm] $w_{1}=\vektor{2\\1\\1}$, $w_{2}=\vektor{-1\\1\\0}$ [/mm] erzeugt wird. Es soll ein Vektor [mm] $w_{3}$ [/mm] gefunden werden, welcher auf [mm] $w_{1}$ [/mm] und [mm] $w_{2}$ [/mm] senkrecht steht. Durch welche Matrix wird S bezogen auf die Basis [mm] $B=(w_{1},w_{2},w_{3})$ [/mm] von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] beschrieben? Wie lautet die Matrix von S bezogen auf die kanonische Basis? |
Hallo,
Mit dem Vektorprodukt erhalte ich die Senkrechte [mm] $w_{3}=\vektor{-1\\-1\\3}$.
[/mm]
Die Darstellungsmatrix erhalte ich, wenn ich die einzelnen Vektoren an der Ebene spiegle und dann die Koeffizienten der gespiegelten Vektoren als Spaltenvektoren in die Matrix nehme.
Ich weiss schon aus der Vektorrechnung, wie man Vektoren an einer Ebene spiegelt. Aber ich denke, ich muss das nicht so machen, weil das nicht behandelt wurde in der Vorlesung.
Aber wie kann ich das sonst machen? Also die Vektoren an der Ebene spiegeln... Gibt es dafür einen anderen Weg als den "üblichen"?
Und wenn ich die Darstellungsmatrix habe, dann muss ich noch einen Basiswechsel nach der kanonische Basis machen.
Wäre das so richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
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> Bezeichne S die Spiegelung von [mm]\IR^{3}[/mm] an der Ebene E, die
> von den Vektoren [mm]w_{1}=\vektor{2\\1\\1}[/mm],
> [mm]w_{2}=\vektor{-1\\1\\0}[/mm] erzeugt wird. Es soll ein Vektor
> [mm]w_{3}[/mm] gefunden werden, welcher auf [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm]
> senkrecht steht. Durch welche Matrix wird S bezogen auf die
> Basis [mm]B=(w_{1},w_{2},w_{3})[/mm] von [mm]\IR^{3}[/mm] beschrieben? Wie
> lautet die Matrix von S bezogen auf die kanonische Basis?
> Hallo,
>
>
> Mit dem Vektorprodukt erhalte ich die Senkrechte
> [mm]w_{3}=\vektor{-1\\-1\\3}[/mm].
Passt.
>
> Die Darstellungsmatrix erhalte ich, wenn ich die einzelnen
> Vektoren an der Ebene spiegle und dann die Koeffizienten
> der gespiegelten Vektoren als Spaltenvektoren in die Matrix
> nehme.
Genau. Nun sollst du ja die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] $(w_1, w_2, w_3)$ [/mm] bestimmen. In die Spalten der Matrix kommen also die Bilder der Vektoren [mm] $w_1, w_2, w_3$ [/mm] wieder ausgedrückt in der Basis [mm] $(w_1, w_2, w_3)$. [/mm] Da nun aber [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] die Spiegelebene aufspannen, sind sie invariant unter der betrachteten Spiegelung. [mm] $w_3$ [/mm] steht senkrecht auf der Spiegelebene, also wird [mm] $w_3$ [/mm] genau auf sein negatives abgebildet. Was bedeutet das also für die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] $(w_1, w_2, w_3)$?
[/mm]
>
> Ich weiss schon aus der Vektorrechnung, wie man Vektoren an
> einer Ebene spiegelt. Aber ich denke, ich muss das nicht so
> machen, weil das nicht behandelt wurde in der Vorlesung.
>
> Aber wie kann ich das sonst machen? Also die Vektoren an
> der Ebene spiegeln... Gibt es dafür einen anderen Weg als
> den "üblichen"?
>
>
>
> Und wenn ich die Darstellungsmatrix habe, dann muss ich
> noch einen Basiswechsel nach der kanonische Basis machen.
Genau. Bestimme die Matrix wie oben beschrieben und führe dann den Basiswechsel durch.
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 14.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Was bedeutet das also für die Darstellungsmatrix bzgl. ?
Die Darstellungsmatrix [mm] $D^{W}_{W}$
[/mm]
lautet [mm] $(w_{1},w_{2},-w_{3})$ [/mm] ?
Danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> > Was bedeutet das also für die Darstellungsmatrix bzgl. ?
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> Die Darstellungsmatrix [mm]D^{W}_{W}[/mm]
>
> lautet [mm](w_{1},w_{2},-w_{3})[/mm] ?
Nein, die Matrix ist [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
Ich denke du hast dir alles richtig überlegt, musst aber noch beachten, dass du die Bilder wieder in der Basis [mm] $(w_{1},w_{2},w_{3})$ [/mm] ausdrückst.
Nochmal deutlicher, die erste Spalte deiner Abbildungsmatrix gibt dir das Bild von [mm] $w_1$ [/mm] unter der Spiegelung in der Basis [mm] $(w_{1},w_{2},w_{3})$ [/mm] an, d.h. stände in dieser Spalte der Vektor $(x, y, z)$, so wäre das Bild von [mm] $w_1$ [/mm] eben [mm] $x*w_1+y*w_2+z*w_3$. [/mm] Das Bild soll jedoch genau [mm] $1*w_1+0*w_2+0*w_3$ [/mm] sein, also muss die Spalte $(1,0,0)$ lauten. Analog funktioniert das für die anderen Spalten.
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 So 14.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Dankeschön!
> Ich denke du hast dir alles richtig überlegt
Nein, aber deine Erklärungen helfen mir dabei...
Also mache ich die Transformationsmatrix aus den Linearkombinationen:
[mm] $w_{1}=2e_{1}+1e_{2}+1e_{3}$
[/mm]
[mm] $w_{2}=-1e_{1}+1e_{2}$
[/mm]
[mm] $w_{3}=-1e_{1}+-1e_{2}+3e_{3}$
[/mm]
[mm] $T^{E}_{W}=\vektor{2&-1&-1\\1&1&-1\\1&0&3}$
[/mm]
[mm] $T^{W}_{E}=\frac{1}{11}\vektor{3&3&2\\-4&7&1\\-1&-1&3}$
[/mm]
[mm] $D^{E}_{E}=\vektor{2&-1&-1\\1&1&-1\\1&0&3}\cdot \vektor{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1} \cdot \frac{1}{11}\vektor{3&3&2\\-4&7&1\\-1&-1&3}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{11}\vektor{9&-2&6\\-2&9&6\\6&6&-7}$ [/mm] ist die Darstellungsmatrix bezogen auf die kanonische Basis.
Stimmt das so?
Danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Dankeschön!
>
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> > Ich denke du hast dir alles richtig überlegt
>
> Nein, aber deine Erklärungen helfen mir dabei...
>
> Also mache ich die Transformationsmatrix aus den
> Linearkombinationen:
>
> [mm]w_{1}=2e_{1}+1e_{2}+1e_{3}[/mm]
> [mm]w_{2}=-1e_{1}+1e_{2}[/mm]
> [mm]w_{3}=-1e_{1}+-1e_{2}+3e_{3}[/mm]
>
>
> [mm]T^{E}_{W}=\vektor{2&-1&-1\\1&1&-1\\1&0&3}[/mm]
Ich muss zugeben bei den Basiswechseln bin ich auch jedes mal wieder am überlegen, was jetzt [mm] $T^{E}_{W}$ [/mm] und was [mm] $T^{W}_{E}$ [/mm] ist, aber ich glaube du hast es leider falschrum.
wenn du den Vektor [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] an die Matrix multiplizierst dann erhälst du [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 1}$. [/mm] Die beiden Vektoren sollen Darstellungen desselben Vektors in verschiedenen Basen sein. Nun müsstest du, wenn du einen Vektor in der Standardbasis E an deine Matrix [mm] $T^{E}_{W}$, [/mm] was ja die Transformationsmatrix von E nach W ist, multiplizierst, die Darstellung des gleichen Vektors in der Basis W erhalten. Das stimmt aber bei obigem Beispiel nicht.
Wenn du aber obige Matrix als [mm] $T^{W}_{E}$ [/mm] erklärst funktioniert es. Du nimmst die Darstellung deines Vektors [mm] $w_1$ [/mm] in der Basis W, nämlich [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] und multiplizierst in an die Matrix und erhälst [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 1}$, [/mm] was genau dein Vektor [mm] $w_1$ [/mm] in der Standardbasis ist.
>
> [mm]T^{W}_{E}=\frac{1}{11}\vektor{3&3&2\\-4&7&1\\-1&-1&3}[/mm]
Falls du die Inverse richtig berechnet hast, müsste das dann [mm] $T^{E}_{W}$ [/mm] sein. Ich glaube aber du hast dich verrechnet. [mm] $T^{E}_{W}T^{W}_{E}$ [/mm] müsste die Einheizsmatrix sein.
>
> [mm]$D^{E}_{E}=\vektor{2&-1&-1\\1&1&-1\\1&0&3}\cdot \vektor{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1} \cdot \frac{1}{11}\vektor{3&3&2\\-4&7&1\\-1&-1&3}[/mm]
Hier hast dudie e Transformationsformel genau falschrum angewendet, es gilt doch:
[mm] D^{E}_{E} [/mm] = [mm] T^{W}_{E}D^{W}_{W}T^{E}_{W}
[/mm]
Du hast aber gerechnet:
[mm] T^{E}_{W}D^{W}_{W}T^{W}_{E}
[/mm]
Da du aber schon vorher die beiden Matrizen vertuscht hast, hast du (modulo Rechenfehler, den du glaube ich bei der Bestimmung der Inversen leider gemacht hast) das richtige Ergebnis. Du kannst ja mal testen, ob die Matrix auf [mm] $w_1, w_2, w_3$ [/mm] richtig wirkt.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Di 16.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke für die Korrektur und Hilfe so weit!
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