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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] fest. Gegeben sei die Abbildung S: [mm] \IR² \to \IR² [/mm] mit:
[mm] S\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x cos\alpha + y sin\alpha \\ x sin\alpha - y cos\alpha}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass S linear ist.
b) Interpretieren Sie die Abbildung S geometrisch. Bestmmen Sie sich heirzu zunächst [mm] S(e_1) [/mm] und [mm] S(e_2), [/mm] wobei [mm] e_i [/mm] die kanonischen Basisvektoren des [mm] \IR² [/mm] bezeichnen. Geben Sie dann an, für welche v [mm] \in \IR² [/mm] gilt: S(v) = v und beschreiben Sie die Menge {v [mm] \in \IR²| [/mm] S(v)=v}
c) Berechnen Sie für [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] die Abbildung [mm] S_\alpha \circ S_\beta [/mm] mit Hilfe der additionstheoreme und interpretieren Sie das ergebnis geometrisch. |
Hallo allerseits,
ich habe ein Paar Fragen zu der Spiegelunsabbildung und würde mich über Eure Hilfe sehr freuen.
a) ist klar
b) Also mit Hilfe von Eigenwerttheorie kann ich das zwar lösen und weiß auch was rauskommt. Die Aufgabe ist nur so gestellt, dass der Lösende eigentlich noch gar nichts von Eigenvektoren weiß. Deshalb habe ich den folgenden Ansatz versucht:
[mm] \vektor{x cos\alpha + y sin\alpha \\ x sin\alpha - y cos\alpha} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Nur wenn ich die erste Gleichung nach x auflöse und dann in die zweite Gleichung einsetze, erhalte ich: [mm] sin²\alpha [/mm] + [mm] cos²\alpha [/mm] = 1. Womit ich irgendwie nicht weiterkomme. Hat da jemand zufällig eine Idee?
c) Hier komme ich zwar auf einige Therme, die ich aber leider nicht umformen kann. Die beiden Standardtheoreme sind mir bekannt, aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich habs mit dem Computer gegengecheckt und habe jetzt raus:
[mm] \vektor{cos(a)(xcos(b) + ysin(b)) + (x - y)sin(a)sin(b) \\ (y - x)cos(a)sin(b) + sin(a)(xcos(b) + ysin(b))}
[/mm]
Gibt es noch andere Additionstheorme, die man hier brauchen könnte? Was soll den geometrisch betrachtet eigentlich rauskommen...
Hoffe, dass ich die Aufgabe verständlich gestellt habe.
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 04.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Chris,
> Sei [mm]\alpha[/mm] fest. Gegeben sei die Abbildung S: [mm]\IR² \to \IR²[/mm]
> mit:
>
> [mm]S\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{x cos\alpha + y sin\alpha \\ x sin\alpha - y cos\alpha}[/mm]
Wenn mich nicht alles Täuscht, ist diese Matrix die Drehung eines Vektors um den Winkel [mm] \alpha.
[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass S linear ist.
>
> b) Interpretieren Sie die Abbildung S geometrisch. Bestmmen
> Sie sich heirzu zunächst [mm]S(e_1)[/mm] und [mm]S(e_2),[/mm]
> wobei [mm]e_i[/mm] die kanonischen Basisvektoren des [mm]\IR²[/mm] > bezeichnen. Geben Sie
> dann an, für welche v [mm]\in \IR²[/mm] gilt: S(v) = v und
> beschreiben Sie die Menge {v [mm] \in \IR²|S(v)=v}
[/mm]
>
> c) Berechnen Sie für [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] die Abbildung
> [mm]S_\alpha \circ S_\beta[/mm] mit Hilfe der additionstheoreme und
> interpretieren Sie das ergebnis geometrisch.
> Hallo allerseits,
>
> ich habe ein Paar Fragen zu der Spiegelunsabbildung und
> würde mich über Eure Hilfe sehr freuen.
>
> a) ist klar
>
> b) Also mit Hilfe von Eigenwerttheorie kann ich das zwar
> lösen und weiß auch was rauskommt. Die Aufgabe ist nur so
> gestellt, dass der Lösende eigentlich noch gar nichts von
> Eigenvektoren weiß. Deshalb habe ich den folgenden Ansatz
> versucht:
>
> [mm]\vektor{x cos\alpha + y sin\alpha \\ x sin\alpha - y cos\alpha}[/mm]
> = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> Nur wenn ich die erste Gleichung nach x auflöse und dann in
> die zweite Gleichung einsetze, erhalte ich: [mm]sin²\alpha[/mm] +
> [mm]cos²\alpha[/mm] = 1. Womit ich irgendwie nicht weiterkomme. Hat
> da jemand zufällig eine Idee?
[mm] sin²\alpha [/mm] + [mm] cos²\alpha [/mm] = 1 ist eine aussgae, die für jeden Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt. (Tipp, schau den Einheitskreis an, dann sollte das klar werden)
>
> c) Hier komme ich zwar auf einige Therme, die ich aber
> leider nicht umformen kann. Die beiden Standardtheoreme
> sind mir bekannt, aber irgendwie komme ich nicht weiter.
> Ich habs mit dem Computer gegengecheckt und habe jetzt
> raus:
>
>
> [mm]\vektor{cos(a)(xcos(b) + ysin(b)) + (x - y)sin(a)sin(b) \\ (y - x)cos(a)sin(b) + sin(a)(xcos(b) + ysin(b))}[/mm]
>
>
> Gibt es noch andere Additionstheorme, die man hier brauchen
> könnte? Was soll den geometrisch betrachtet eigentlich
> rauskommen...
>
Geometrisch ist die Verknüpfung [mm] S_\alpha \circ S_\beta [/mm] eine Hintereinanderschaltung von zwei Drehungen, also eine Drehung erst um den Winkel [mm] \alpha [/mm] und dann eine weitere um [mm] \beta
[/mm]
Welche Additionstheoreme im einzelnen benutzt werden sollen, weiss ich jetzt auch nicht im einzelnen, da musst du ein wenig selber suchen.
>
> Hoffe, dass ich die Aufgabe verständlich gestellt habe.
> Chris
Super, habe selten eine so gute Fragestellung (vor allem vom Textbild und der Formelsetzung gesehen).
Ich hoffe, das hilft weiter.
Marius
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Hallo!
KLeine Anmerkung: Das ist KEINE reine Drehmatrix. Sin und cos sind zwar an der richtigen Stelle, allerdings gehört das einzige '-' nach unten links, nicht rechts.
Dies bedeutet jedoch nur, daß die y-Komponente insgesamt ein negatives Vorzeichen enthält. Man könnte also sagen: Drehe einen Vektor um den Winkel, und spiegele in anschließend an der x-Achse. Dies ist die geometrische Interpretation.
Zu der mehrmaligen Anwendung: Hier würde ich erstmal keinen Vektor benutzen! Ich würde die beiden Matrizen miteinander multiplizieren
$ [mm] \pmat{ \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha }* \pmat{ \cos\beta & \sin\beta \\ \sin\beta & -\cos\beta }=\pmat{ \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta \\\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta & \sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta }=\pmat{\cos{(\alpha-\beta)}&-\sin{(\alpha-\beta)} \\ \sin{(\alpha-\beta)} & \cos{(\alpha-\beta)}}$
[/mm]
Ich bitte dich, die Additionstheoreme nochmal zu überprüfen.
Wenn du jetzt dran denkst, daß cos(-x)=cos(+x) und sin(-x)=-sin(x) ist, kannst du [mm] $\alpha-\beta$ [/mm] gegen [mm] $-(\beta-\alpha)$ [/mm] tauschen. In diesem Fall erhälst du EXAKT die Drehmatrix! Gedreht wird dann um den Winkel [mm] $(\beta-\alpha)$. [/mm] Keine Spegelung mehr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Sebastian,
danke für den Hinweis jetzt habe ich meinen Fehler bei der Hintereinanderauführung erkannt.
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Marius,
zunächst einmal danke für deine Antwort.
> Wenn mich nicht alles Täuscht, ist diese Matrix die Drehung
> eines Vektors um den Winkel [mm]\alpha.[/mm]
Ich habe noch mal im Fischer nachgeschlagen. Die Drehmatrix sieht ganz ähnlich aus, nur unterscheidet sich der zweite Bildvektor [mm] S(e_2) [/mm] um ein Minuszeichen von dem zweiten Bildvektor der Matrix, die ich oben (nach Mulitplikation) angegeben habe. Wenn man aber wie oben in der Aufgabe vorgeschlagen die Basisvektoren [mm] e_i [/mm] einsetzt, sieht man, dass beide an der Winkelhalbierenden gespiegelt werden. Das heißt jede Linearkombination von [mm] e_i [/mm] wird wegen der Linearität von S auch gespiegelt. (Ob man so argumentieren darf, bin ich mir nicht ganz sicher.)
> [mm]sin²\alpha[/mm] + [mm]cos²\alpha[/mm] = 1 ist eine aussgae, die für jeden
> Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt. (Tipp, schau den Einheitskreis an, dann
> sollte das klar werden)
Meinst du, dass die Summe der Quadrate der Katheten hier gerade [mm]sin²\alpha[/mm] + [mm]cos²\alpha[/mm] entsprechen und diese wegen des Satzes von Pythagoras im Einheitskreis gleich 1 sein sollen?
Ich weiß nur nicht, wie ich das dann dahingehen interpretieren kann, dass alle Punkte auf der Winkelhalbierenden gerade, die Punkte sind, für die S(v) = v gilt...
>
> Geometrisch ist die Verknüpfung [mm]S_\alpha \circ S_\beta[/mm] eine
> Hintereinanderschaltung von zwei Drehungen, also eine
> Drehung erst um den Winkel [mm]\alpha[/mm] und dann eine weitere um
> [mm]\beta[/mm]
Das gilt, wie du sagst bei Drehungen, aber gilt das auch für Spiegelungen. Ich hatte auf irgendeiner Internetseite was von einer Fallunterscheidung gelesen, die war nur leider von einer Hauptstudiumsveranstaltung, so dass ich nur sehr wenig verstanden habe...
Noch einen schönen Abend,
Chris
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So, nachdem ich in meiner Mitteilung doch alles ausgerechnet habe:
Die geometrische Interpretation der Eigenvektoren:
Man dreht um den Winkel und spiegelt dann an der x-Achse. Wenn man drüber nachdenkt, sind das alle Vektoren, die um den halben Winkel im mathematisch negativen Sinn vor den Achsen laufen. Sprich: Drehe das Koordinatenkreuz um den halben Winkel im Uhrzeigersinn. Alle Vektoren auf diesem neuen Kreuz sind Eigenvektoren.
Weil nur gedreht und gespiegelt wird, sind die Eigenwerte 1 für die Vektoren an der x-Achse und -1 für die an der y-Achse.
Wozu rechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Sebastian,
> Wozu rechnen?
Die Aufgabe stammt aus einer Zeit, in der wir noch nicht mit Eigenvektoren umgehen konnten. Deswegen habe ich mich gefragt, wie man die Eigenvektoren ohne die Eigenwerttheorie errechnet. Also wie finde ich alle x, für die S(x) = x gilt. Wenn ich die Eigenvektoren einsetze, dann geht's auf. Klar aber wie komme ich ohne dieses Wissen auf diese Vektoren und kann gleichzeitig zeigen, dass es nicht noch andere Möglichkeiten gibt...
Schönen Abend noch,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Sa 05.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Chris,
möchte dir einige Hilfen anbieten:
1. Additiontheoreme
[mm] sin^2( \nu [/mm] ) + [mm] cos^2( \nu) [/mm] = 1
cos( [mm] \nu [/mm] [mm] \pm [/mm] [mm] \pi [/mm] ) = cos( [mm] \nu [/mm] ) cos( [mm] \pi [/mm] ) [mm] \mp [/mm] sin( [mm] \nu [/mm] ) sin( [mm] \pi [/mm] )
sin( [mm] \nu [/mm] [mm] \pm [/mm] [mm] \pi [/mm] ) = sin( [mm] \nu [/mm] ) cos( [mm] \pi [/mm] ) [mm] \pm [/mm] cos( [mm] \nu [/mm] ) sin( [mm] \pi [/mm] )
Beachte wie die Formelen aussehen bei [mm] \nu [/mm] = [mm] \pi [/mm] !!
2. Vor der Eigenwerttheorie war dir sicher bekannt, dass Vektoren bezüglich einer Basis darstellbar sind. Die Matrix ist nichts anderes als eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit entsprechenden Basen.
Dabei stehen in den Spalten die Bilder der Basisvektoren.
Jetzt kennst du die Basen aus beiden Vektorräumen und die Abbildungsmatrix, somit kannst du S(x) = u bestimmen!
Welche Frage steht noch im Raum: Wie muß die Linearkombination der Basisvektoren im Bildbereich sein, um u = x zu bekommen!
Sind beide Basen identisch, kann man direkt die Linearkombination mit unbestimmten Koeffizienten ansetzten.
Hoffe es hilft dir, sonst bitte fragen, schaue am WE nachmal rein.
Gruß
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Sa 05.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Also wenn ich ansetze:
[mm] v=ae_1 [/mm] * [mm] be_e
[/mm]
und dieses in S einsetze, dann erhalte ich:
S(v) = a [mm] \vektor{cos\alpha \\ sin\alpha } [/mm] + b [mm] \vektor{sin\alpha \\ -cos\alpha } (\*)
[/mm]
D.h. aber auch, dass zum Beispiel meine Basisvektoren nicht identisch sind, oder?
Naja und wenn ich diese Gleichung [mm] (\*), [/mm] gleich dem Vektor [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] setze, erhalte ich wieder ein Gleichungssystem aus dem [mm] sin²\alpha +cos²\alpha [/mm] = 1 folgt. Also ein Ergebnis, dass von a und b unabhängig ist. Deswegen dachte, dass mir dieser Ansatz nicht weiterhilft. Oder irre ich mich da?
Zu den Additionstheoremen:
Gut, wenn ich die beiden Gleichung [mm] v=\pi [/mm] einsetze, erhalte ich:
[mm] cos(2\pi) [/mm] = 1
[mm] sin(2\pi) [/mm] = 0
Wenn ich [mm] -\pi/2 [/mm] einsetze, erhalte ich:
[mm] cos(\pi/2) [/mm] = 0
sin [mm] (\pi/2) [/mm] = 1
Ich erkenne also die Einheitsvekoren in versteckter Weise. Nur habe ich dann ja einen konkreten Winkel eingesetzt... Meintest du das überhaupt?
Vielen Dank für deine Hilfe
Chris
PS: Ich habe aus Versehen zwei Fragen aufgemacht, weißt du, ob es eine Möglichkeit eine davon zu schließen? Auf dem roten 'Knopf' habe ich schon geklickt, hab da nur leider nichts gefunden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 So 06.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo chris,
zunächst wollte ich mit den aufgeführten Additionstheoremen keinen Lösungsansatz geben, nur deine Frage danach beantworten.
Allerdings meinte ich mit [mm] \nu [/mm] und [mm] \pi [/mm] nur Platzhalter für beliebige Winkel, i.S.v.:
cos ( [mm] \beta [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = cos(2 [mm] \beta [/mm] ) = [mm] cos^2( \beta [/mm] ) - [mm] sin^2( \beta [/mm] )
Mit [mm] \beta \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm] !!
Sorry war mein Fehler mit der irreführenden Winkelbezeichnung.
Zur angedachten Vorgehensweise ein Beispiel:
S= [mm] \pmat{1 & 1& {-1} \\ 3 & {-1} & {-1} \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
x= [mm] \vektor{ \alpha \\ \beta \\ \mu}
[/mm]
S x = [mm] \pmat{1 & 1& {-1} \\ 3 & {-1} & {-1} \\ 0 & 0 & 1} \vektor{ \alpha \\ \beta \\ \mu} [/mm] = [mm] \vektor{ \alpha \\ \beta \\ \mu}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] Gleichungssystem:
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] - [mm] \mu [/mm] = [mm] \alpha \rightarrow \beta [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
3 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] - [mm] \mu [/mm] = [mm] \beta \rightarrow [/mm] (einsetzen) [mm] \alpha [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
0 + 0 + [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Zusammen ergibt sich: x = [mm] \vektor{ \mu \\ \mu \\ \mu}= \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] mit [mm] \mu \in \IR \setminus [/mm] {0} Da: 0 = EW aber 0 [mm] \not= [/mm] EV !!
Also EW = 1 und EV = [mm] \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \mu e_1 [/mm] + [mm] \mu e_2 [/mm] + [mm] \mu e_3
[/mm]
Probe. wähle [mm] \mu [/mm] = 2
Dies gilt für die Standardbasis { [mm] e_1 [/mm] , [mm] e_2 [/mm] , [mm] e_3 [/mm] } im [mm] \IR^{3} [/mm] und S: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}
[/mm]
Bei unterschiedlichen Basen muß natürlich eine Anpassung erfolgen, versuche es mal selbst.
Das Beispiel bezieht sich auf den EW = 1 , da ja auch alle Vielfachen des EV wieder EV zum zugehörigen EW sind.
S * EV = EW * EV [mm] \rightarrow [/mm] S * ( [mm] \lambda [/mm] EV ) = EW *( [mm] \lambda [/mm] EV )
Vielleicht konnte ich mich etwas verständlicher ausdrücken, sorry liegt nicht an deiner Frage oder Info, aber schriftlich erklären ist nicht in allen Bereichen leicht für mich.
Wie du deine Frage rückgängig machst kann ich dir auch nicht verraten, ist doch auch nicht wild ob Frage oder Mitteilung!
Ciao
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 So 06.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hey danke ron für deine Erklärung.
Mit den Additionstheoremen sollte ich also herumexperimentieren. Das war auch im Prinzip, was mich weiter gebracht hätte. Insofern war der Hinweis nicht schlecht.
Diesen Ansatz, den du schilderst, habe ich versucht. Das meinte ich als ich oben schrieb:
[mm] \vektor{x cos\alpha + y sin\alpha \\ x sin\alpha - y cos\alpha} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Ich erhalte dann aus der ersten Gleichung zum Beispiel:
y = [mm] \bruch{x - xcosa}{sina}
[/mm]
Setze ich jetzt dieses y in die zweite Gleichung ein, erhalte ich:
xsina - [mm] (\bruch{x - xcosa}{sina})cosa [/mm] = y = [mm] \bruch{x - xcosa}{sina}
[/mm]
Für gewisse a darf ich jetzt diese Zeile mit sina multiplizieren, ich erhalte:
xsin²a + xcos²a - xcosa = x - xcosa
Falls x ungleich Null, darf ich auch hier wieder kürzen und erhalte:
sin²a + cos²a = 1
Nur das wusste ich irgendwie schon vorher. Das Ergebnis ist zudem von x und y unabhängig. Oder verhilft mir das tatsächlich zur Lösung, von der ich ja weiß, dass es z. B. die Grade ist, die durch den Ursprung verläuft und einen Winkel a/2 mit der x-Achse einschließt.
Ich denke, dass ich deinen Ausführung folgen konnte, oder habe ich immer noch was nicht ganz verstanden?
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 07.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Chris
Ein Eigenvektor muss nicht unbedingt dieselbe Länge haben, wie der Vektor! (sonst gäbs ja keine Eigenwerte. und mit :
M* [mm] \vec{v}=a* \vec{v} [/mm] kommst du auf die Gleichung: [mm] a^{2}=1, a=\pm [/mm] 1.
eingestze in deine Gl. für y(x) gibt das die Eigenvektoren.
Aber da du ja zuerst die Bilder der Standardbasis ausrechnen solltest, könnte man sehen, dass die an der x-Achse gespiegelt und dann um [mm] \alpha [/mm] gedreht wurden, und einfach geometrisch überlegen, welche Vektoren dabei höchstens verlängert werden. Daraus sieht man, dass die Eigenwerte nur [mm] \pm [/mm] 1 sein können, weil Spiegelungen und Drehungen längentreue Abbildungen sind. Und mit ein bissel Überlegen, "sieht man dann auch die Eigenvektoren, wenn man nämlich merkt, dass das eigentlich eine Spiegelung an der Geraden, die unter [mm] \alpha/2 [/mm] zur x-Achse verläuft ist. und eine Spiegelung kann naturgemäß nur Vektoren auf der Spiegelachse als Eigenvektoren haben!
Die Aufgabe ist also ganz ohne Formalismus, nur mit Geometrie zu lösen, wenn man die Bilder der Standardbasis ansieht. Und so war sie wohl auch gemeint.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mo 07.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo leduart,
genau an der Stelle lag mein Fehler! Ich hatte die Gleichung S nur einem Vektor und nicht dem Vielfachen eines Vektors gleichgesetzt. Vielen, vielen Dank für diesen wertvollen Hinweis.
Du hast schon Recht, dass die Aufgabe wahrscheinlich rein geometrisch gemeint war. Aber ich hatte diesen Ansatz und wollte wissen was damit nicht stimmte. Und jetzt hab ich's. Danke nochmal.
Chris
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