Spiegelungsmatrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 So 31.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 10.
Sei gegeben $ g=lin(v) $ die Gerade in [mm] $\IR^{2}$, [/mm] erzeugt durch den Vektor [mm] $v=\vektor{a\\b}$ [/mm] $ [mm] \in \IR^{2}$ [/mm] wobei [mm] $a^{2}+b^{2}=1$ [/mm] S bezeichne die Spiegelung des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] an der Geraden $g$. Man überlege sich, wie für $v [mm] \in \IR^{2}$ [/mm] mit Hilfe des Skalarproduktes der gespiegelte Vektor $S(w)$ berechnet wird. Die Abbildung S (bezogen auf die kanonische Basis [mm] ($e_{1},e_{2}$ [/mm] in $ [mm] \IR^{2}$) [/mm] beschrieben? |
Also eine
Bedingung ist: [mm] $=a^{2}+b^{2}=1$ [/mm]
Also Spiegelung an einer Geraden aus dem Einheitskreis.
[mm] $\vektor{0,1}$ [/mm] wird auf [mm] $\vektor{1,0}$ [/mm] abgebildet, also lautet die Matrix:
[mm] $\vektor{0&1\\1&0}$ [/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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> 10.
> Sei gegeben [mm]g=lin(v)[/mm] die Gerade in [mm]\IR^{2}[/mm], erzeugt durch
> den Vektor [mm]v=\vektor{a\\
b}[/mm] [mm]\in \IR^{2}[/mm] wobei [mm]a^{2}+b^{2}=1[/mm]
> S bezeichne die Spiegelung des [mm]\IR^{2}[/mm] an der Geraden [mm]g[/mm].
> Man überlege sich, wie für [mm] \red{w}\in \IR^2 [/mm] mit Hilfe des
> Skalarproduktes der gespiegelte Vektor [mm]S(w)[/mm] berechnet wird.
Durch welche Matrix wird
> Die Abbildung S (bezogen auf die kanonische Basis
> ([mm]e_{1},e_{2}[/mm] in [mm]\IR^{2}[/mm]) beschrieben?
Hallo,
ich habe mal die Aufgabenstellung etwas verändert, in der Hoffnung die richtige getroffen zu haben.
>
> Also eine
>
> Bedingung ist: [mm]=a^{2}+b^{2}=1[/mm]
Nein. w ist irgendein Vektor aus dem [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Bedingung [mm] a^2+b^2=1 [/mm] bezieht sich doch auf den Richtungsvekor v der Spiegelachse g, welcher hier als Einheitsvektor gegeben ist.
>
> Also Spiegelung an einer Geraden aus dem Einheitskreis.
Achso, Du meintest eigetnlich den Richtungsvektor der Geraden, also v.
Es ist <v,v>=1, das stimmt, aber das sagt nichts anderes als das, was ich oben schrieb: v ist ein Einheitsvektor.
Was meinst Du mit "Gerade aus dem Einheitskreis"? Was soll das sein? (Geraden sind ja auch ziemlich lang und lassen sich nicht in Kreisen einsperren.)
> [mm]\vektor{0,1}[/mm] wird auf [mm]\vektor{1,0}[/mm] abgebildet,
Prinzipiell ist es eine gute Idee, sich zu überlegen, worauf [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] abgebildet werden, den nDu willst ja die darstellende Matrix bzgl. diese Basis.
Das, was Du schreibst, wäre der Fall, wenn die Spiegelachse die Winkelhalbierende des ersten Quadranten wäre. Davon ist allerdings nicht die Rede, sondern von einer Spiegelachse in Richtung [mm] v=\vektor{a\\b}.
[/mm]
Du kannst es so machen:
überlege Dir, was bei Spiegelung an g passiert mit Vektoren,
die in Richtung v sind,
und was mit solchen, die senkrecht zu v sind.
Schreibe [mm] e_1 [/mm] als Summe eines Vektors in Richtung v und eines Vektors, der senkrecht zu v ist, und bestimme dann das Bild unter der Spiegelung.
Dasselbe mit [mm] e_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 31.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
>ich habe mal die Aufgabenstellung etwas verändert
Ja, war ein Tippfehler.Danke.
Es wird 2 Mal der Zwischenwinkel zum Vektor e_{1} dazuaddiert. Also sieht die Endmatrix dann so aus:
$\vektor{0&-2\cdot\frac{<v,w>}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{w}|}\\2\cdot\frac{<v,w>}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{w}|}&0$
Hast du das so gemeint?
Danke!
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> Hallo,
>
> >ich habe mal die Aufgabenstellung etwas verändert
>
> Ja, war ein Tippfehler.Danke.
>
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>
> Es wird 2 Mal der Zwischenwinkel zum Vektor [mm]e_{1}[/mm]
> dazuaddiert. Also sieht die Endmatrix dann so aus:
>
> [mm]\vektor{0&-2\cdot\frac{}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{w}|}\\
2\cdot\frac{}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{w}|}&0[/mm]
Hallo,
die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis enthält in den Spalten die Bilder der beiden Standardbasisvektoren unter der Abbildung S.
Eine Anleiutung zum Berechnen derselbigen hatte ich doch gegeben.
In der gesuchten Matrix schwirrt bestimmt nicht der Vektor w herum. Er hat ja mit der Abbildung gar nichts zu tun - er soll bloß später abgebildet werden.
Ich hab' das Gefühl, daß Du das Thema "Darstellungsmatrizen" nacharbeiten solltest.
Gruß v. Angela
>
> Hast du das so gemeint?
>
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 01.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo und Danke,
Aber ich verstehe noch nicht, wie ich deine Anleitung ausführen kann. Deshalb nochmal ein Ansatz.
> überlege Dir, was bei Spiegelung an g passiert mit Vektoren,
> die in Richtung v sind,
Diese werden um 2 Mal den Zwischenwinkel zwischen g und v gedreht
> und was mit solchen, die senkrecht zu v sind.
Diese werden auf sich selber abgebildet?
> Schreibe [mm] $e_{1}$ [/mm] als Summe eines Vektors in Richtung v und eines > > > > Vektors, der > > > senkrecht zu v ist
[mm] $e_{1}=\lambda\vektor{a\\b}+\lambda_{2}\vektor{-b\\a}$
[/mm]
> und bestimme dann das Bild unter der
> Spiegelung.
[mm] $e_{1}'=\vektor{\lambda b + \lambda_{2} a \\ \lambda a - \lambda_{2} b}$
[/mm]
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> Hallo und Danke,
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> Aber ich verstehe noch nicht, wie ich deine Anleitung
> ausführen kann. Deshalb nochmal ein Ansatz.
>
>
> > überlege Dir, was bei Spiegelung an g passiert mit
> Vektoren,
> > die in Richtung v sind,
>
> Diese werden um 2 Mal den Zwischenwinkel zwischen g und v
> gedreht
Hallo,
aha. Nun ist aber der Winkel zwischen der Spiegelachse, deren Richtungsvektor v ist und Vektoren in Richtung v gerade 0°...
Mannomann: in welche Richtung zeigen die Vektoren die man erhält, wenn man Vektoren, die parallel zur Spiegelachse sind, spiegelt?
>
> > und was mit solchen, die senkrecht zu v sind.
>
> Diese werden auf sich selber abgebildet?
Blödsinn! Echt.
Mach Dir doch mal ein Bildchen!
Eine Gerade, einen Pfeil, der in ihre Richtung zeigt, und einen, der senkrecht zur Achse ist.
Und nun spiegele.
>
>
> > Schreibe [mm]e_{1}[/mm] als Summe eines Vektors in Richtung v und
> eines > > > > Vektors, der > > > senkrecht zu v ist
> [mm]e_{1}=\lambda\vektor{a\\
b}+\lambda_{2}\vektor{-b\\
a}[/mm]
Jetzt müßten wir aber noch [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] genau wissen.
Dann spiegeln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Mi 03.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> in welche Richtung zeigen die Vektoren die man erhält, wenn man Vektoren, die > parallel zur Spiegelachse sind, spiegelt?
in dieselbe wie vorher...
> Mach Dir doch mal ein Bildchen!
> Eine Gerade, einen Pfeil, der in ihre Richtung zeigt, und einen, der senkrecht > zur Achse ist.
> Und nun spiegele.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich denke, der $SB'=SB-2(<SB,SG>)SG$ müsste doch richtig sein oder? Und die Matrix muss ich jeweils die beiden Einheitsvektoren einsetzen und dann zusammensetzen?
Danke...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> > in welche Richtung zeigen die Vektoren die man erhält,
> wenn man Vektoren, die > parallel zur Spiegelachse sind,
> spiegelt?
>
> in dieselbe wie vorher...
>
> > Mach Dir doch mal ein Bildchen!
> > Eine Gerade, einen Pfeil, der in ihre Richtung zeigt, und
> einen, der senkrecht > zur Achse ist.
> > Und nun spiegele.
Hallo,
auf Deinem Bild hast Du zwar nicht das gemacht, was ich mir so dachte,
und auch das
>
> [mm]SB'=SB-2()SG[/mm]
ist auf dem Bild jetzt nicht so zu sehen, weil es die Buchstaben gar nicht gibt, aber stimmen tut es schon - wenn Du mit SG dasselbe meinst wie ich.
> müsste doch richtig
> sein oder? Und die Matrix muss ich jeweils die beiden
> Einheitsvektoren einsetzen und dann zusammensetzen?
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Danke...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 03.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Mit SB ist Spiegelbild gemeint, und mit SG Spiegelgerade.
Ich erhalte das für die Matrix:
[mm] $\vektor{1-2a^{2}&2ab\\-2ab&1- 2b^{2}}$
[/mm]
ist das so korrekt?
Danke vielmals!
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> Mit SB ist Spiegelbild gemeint, und mit SG Spiegelgerade.
Hallo,
dann solltest Du Dir überlegen, daß das rein von der Anschauung her doch schon Quatsch ist.
Wenn ich den Vektor [mm] \vektor{1\\0} [/mm] an der Geraden mit Richtunsvektor [mm] \vektor{a\\b}spiegeln [/mm] möchte, dann bekomme ich das Spiegelbild doch nicht, indem ich zu [mm] \vektor{1\\0} [/mm] einen Vektor in Richtung der Spiegelachse addiere!
Überleg doch mal, wie Du die Spiegelung konstruiert: mit einer Senkrechten zur Sppiegelachse.
>
> Ich erhalte das für die Matrix:
>
>
> [mm]\vektor{1-2a^{2}&2ab\\
-2ab&1- 2b^{2}}[/mm]
>
>
> ist das so korrekt?
Nein, aus dem oben genannten Grund.
Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
> Danke vielmals!
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