Split vs. Ramified < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo zusammen.
Meine Frage bezieht sich hier auf die allgemeine Theorie der Zahlkörper. Und zwar habe ich in meinem Script ein für mich widersprüchlich aussehendes Beispiel an zwei verschiedenen Stellen gefunden.
Zuerst wurden die Begriffe "split", "ramified" und "inert" eingeführt. Da damit p ramified ist, p [mm] \mid [/mm] d (= discriminante des Zahlkörpers) und damit p split ist, p [mm] \nmid [/mm] d gelten muss, kann in einem und demselben Zahlkörper ein Element p ja nicht beides sein.
Jetzt aber betrachte ich mal K = [mm] \mathbb{Q}(i)
[/mm]
Dann nehme ich (2) als element.
- (2) = (i+1)(i-1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) split in K
- (2) = [mm] (1+i)^{2} \Rightarrow [/mm] (2) ramified in K
Seht ihr mein Problem? ^^
Ich hoffe, jemand kann mir das erklären :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Fr 27.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo Amaro,
> Meine Frage bezieht sich hier auf die allgemeine Theorie
> der Zahlkörper.
>
> Zuerst wurden die Begriffe "split", "ramified" und "inert"
> eingeführt. Da damit p ramified ist, p [mm]\mid[/mm] d (=
> discriminante des Zahlkörpers) und damit p split ist, p
> [mm]\nmid[/mm] d gelten muss, kann in einem und demselben
> Zahlkörper ein Element p ja nicht beides sein.
Achtung das gilt nur für quadratische Zahlkörper, für größere Erweiterungen gibt es Mischformen.
> Jetzt aber betrachte ich mal K = [mm]\mathbb{Q}(i)[/mm]
>
> Dann nehme ich (2) als element.
>
> - (2) = (i+1)(i-1) [mm]\Rightarrow[/mm] (2) split in K
> - (2) = [mm](1+i)^{2} \Rightarrow[/mm] (2) ramified in K
>
Die imaginäre Einheit $i$ ist eine Einheit in [mm] $\mathbb{Q}(i)$ [/mm] und [mm] $i\cdot [/mm] (i+1)=(i-1)$. Also sind die Ideale $(i+1)$ und $(i-1)$ gleich. Daher ist deine erste Folgerung, dass 2 zerfällt ("split" ist), falsch.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey
Danke.. es ist mir jetzt klar :) Immer diese Einheiten, die alles gleich machen.. ^^
Grüsse, Amaro
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