Sprungstellen im Intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Sei a < b [mm] \in \IR; [/mm] I = [a; b] und f : I [mm] \to \IR [/mm] monoton wachsend. Zeigen Sie, dass f im Inneren von I höchstens abzählbar unendlich viele Unstetigkeitsstellen (und zwar
Sprungstellen) hat. |
Ich grübel jetzt schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe herum. Ich weiß, dass eine abzählbar unendliche Menge eine bijektion auf die Menge der natürlichen Zahlen ist, oder man könnte auch einen Widerspruch herbeiführen, in dem man annimmt, die Menge der Sprungstellen sei überabzählbar, sprich mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen.
Mein Problem liegt einfach darin, dass ich nicht weiß, wie ich die Menge der Sprungstellen definieren soll!
MfG
Doc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei a < b [mm]\in \IR;[/mm] I = [a; b] und f : I [mm]\to \IR[/mm] monoton
> wachsend. Zeigen Sie, dass f im Inneren von I höchstens
> abzählbar unendlich viele Unstetigkeitsstellen (und zwar
> Sprungstellen) hat.
> Ich grübel jetzt schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe
> herum. Ich weiß, dass eine abzählbar unendliche Menge eine
> bijektion auf die Menge der natürlichen Zahlen ist, oder
> man könnte auch einen Widerspruch herbeiführen, in dem man
> annimmt, die Menge der Sprungstellen sei überabzählbar,
> sprich mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen.
>
> Mein Problem liegt einfach darin, dass ich nicht weiß, wie
> ich die Menge der Sprungstellen definieren soll!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Menge der Sprungstellen S ist ja die Menge der Stellen, an denen rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen.
Man schaut sich nun zu jeder Sprungstelle a das offene "Sprungintervall" I(a):= [mm] ]\lim_{x\to a^-}f(x),\lim_{x\to a^+}f(x)[ [/mm] an.
Mithilfe der Monotonie kannst Du Dir überlegen, daß die Schnitte von den zu zwei verschiedenen Sprungstellen gehörenden intervallen jeweils leer sind.
Nun kommt der entscheidenede Gedanke: in jedem dieser Sprungintervalle gibt es eine rationale Zahl (sogar sehr viele, aber für uns reicht eine.)
Man ordnet nun jeder Sprungstelle a eine rationale Zahl [mm] q_a [/mm] aus dem entsprechenden Sprungintervall zu.
Du kannst Dir überlegen, daß diese Abbildung
[mm] \phi: [/mm] S [mm] \to \IQ
[/mm]
[mm] a\mapsto q_a [/mm]
injektiv ist.
Also ist die Mächtigkeit von S gleich der von [mm] \phi(S), [/mm] und [mm] \phi(S) [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] \IQ.
[/mm]
So, nun kommt Dein Part: Du solltest das jetzt gründlich durchdenken, schön aufschreiben und hierbei Unbewiesenes beweisen bzw. begründen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Docci |
Auf jeden Fall vielen Dank für die freundliche Aufnahme hier und die sehr schnelle Antwort auf meine Frage, im Nachhinein fragt man sich natürlich, warum ist man da nicht selber drauf gekommen, mit dem rechts & linksseitigen Grenzwert.
Der Tip mit den rationalen Zahlen war auch äußerst hilfreich!
Falls mir doch noch eine Frage in den Sinn kommen sollte, meld ich mich.
Danke & Ciao
Doc
|
|
|
|
