Spur-Sigma-Algebren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 So 14.09.2008 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Die [mm] \sigma [/mm] - Algebren [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] und [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{a,b,c,d\} [/mm] seien gegeben durch
a) [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c,d\}, \{a,b\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\}, \{a,b,c,d\}\}
[/mm]
b) [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{a\}, \{b,c,d\}, \{a,b,c,d\}\}.
[/mm]
Mit A = [mm] \{a,b\} [/mm] und B = [mm] \{a,b,c\} [/mm] berechne man die Spur- [mm] \sigma [/mm] - Algebren
A [mm] \cap \mathcal{A}_{1}, [/mm] A [mm] \cap \mathcal{A}_{2}, [/mm] B [mm] \cap \mathcal{A}_{1} [/mm] und B [mm] \cap \mathcal{A}_{2} [/mm] |
soweit ich weiss, ist die Spur - [mm] \sigma [/mm] - Algebra definiert als:
[mm] \Omega \cap \mathcal{A} [/mm] := [mm] \{\Omega \cap A: A \in \mathcal{A} \}
[/mm]
heisst das dann, dass
A [mm] \cap \mathcal{A}_{1} [/mm] = [mm] \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\} [/mm] ist?
(weil [mm] A=\{a,b\}, [/mm] also [mm] \{a\}, \{b\} [/mm] und [mm] \{a,b\} \in \mathcal{A}_{1} [/mm] ???)
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> Die [mm]\sigma[/mm] - Algebren [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] und [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm]
> auf [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{a,b,c,d\}[/mm] seien gegeben durch
> a) [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] = [mm]\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c,d\}, \{a,b\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\}, \{a,b,c,d\}\}[/mm]
>
> b) [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm] = [mm]\{\emptyset, \{a\}, \{b,c,d\}, \{a,b,c,d\}\}.[/mm]
>
> Mit A = [mm]\{a,b\}[/mm] und B = [mm]\{a,b,c\}[/mm] berechne man die Spur-
> [mm]\sigma[/mm] - Algebren
> A [mm]\cap \mathcal{A}_{1},[/mm] A [mm]\cap \mathcal{A}_{2},[/mm] B [mm]\cap \mathcal{A}_{1}[/mm]
> und B [mm]\cap \mathcal{A}_{2}[/mm]
> soweit ich weiss, ist die Spur
> - [mm]\sigma[/mm] - Algebra definiert als:
>
> [mm]\Omega \cap \mathcal{A}[/mm] := [mm]\{\Omega \cap A: A \in \mathcal{A} \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> heisst das dann, dass
> A [mm]\cap \mathcal{A}_{1}[/mm] = [mm]\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}[/mm]
> ist?
> (weil [mm]A=\{a,b\},[/mm] also [mm]\{a\}, \{b\}[/mm] und [mm]\{a,b\} \in \mathcal{A}_{1}[/mm]
> ???)
Wobei man den Weg zu diesem Ergebnis auch noch etwas ausführlicher hinschreiben könnte. Am Beispiel von [mm] $B\cap\mathcal{A}_1$ [/mm] vorgeführt etwa so:
[mm]\begin{array}{lcl}
B\cap \mathcal{A}_1 &=&\{B\cap \emptyset, B\cap \{a\}, B\cap \{b\}, B\cap \{c,d\}, B\cap \{a,b\}, B\cap \{a,c,d\}, B\cap \{b,c,d\}, B\cap \{a,b,c,d\}\}\\
&=& \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c,d\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}
\end{array}[/mm]
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