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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Sa 27.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | [mm] \mathcal{A} [/mm] ist eine [mm] \Omega- [/mm] ALgebra , A [mm] \subset \sigma. [/mm] Wieso ist dann [mm] \mathcal{A} \setminus [/mm] A := [mm] \{ A \cap B : B \in \mathcal{A}\} [/mm] auch eine [mm] \sigma-Algebra? [/mm] |
Eig2.:
Sei C [mm] \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A , also kann ich C so darstellen C = A [mm] \cap [/mm] B . mit B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
ZZ.: [mm] C^{c} \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A
Und das Komplement muss ich mir nun bez. welchen Raumes anschauen?
Das habe ich nich verstanden. [mm] \Omega [/mm] ist der grundraum für die [mm] \mathcal{A} \sigma-ALgebra. [/mm] Nun dachte ich dass ich [mm] C^c [/mm] = [mm] \Omega \setminus [/mm] C anschauen muss, aber so komme ich auf keinen roten faden.
Kann mir das vlt. jemand erklären? Und wie ihr auf die Antwort kommt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Mia,
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ist eine [mm]\Omega-[/mm] ALgebra , A [mm]\subset \sigma.[/mm]
hast Du hier zufällig [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\Omega$ [/mm] vertauscht? Ich kenne
den Begriff der "Sigma-Algebra" (auf [mm] $\Omega$), [/mm] aber Omega-Algebra...?!
Ich gehe mal sinnvollerweise davon aus, dass Du da ein wenig permutiert
hast... 
> Wieso ist dann [mm]\mathcal{A} \setminus[/mm] A := [mm]\{ A \cap B : B \in \mathcal{A}\}[/mm]
> auch eine [mm]\sigma-Algebra?[/mm]
> Eig2.:
> Sei C [mm]\in \mathcal{A} \setminus[/mm] A , also kann ich C so
> darstellen C = A [mm]\cap[/mm] B . mit B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> ZZ.: [mm]C^{c} \in \mathcal{A} \setminus[/mm]
> A
> Und das Komplement muss ich mir nun bez. welchen Raumes
> anschauen?
[mm] $\mathcal{A}\setminus \red{A}$ [/mm] ist doch eine Sigma-Algebra auf [mm] $\red{A}\,.$
[/mm]
> Das habe ich nich verstanden. [mm]\Omega[/mm] ist der grundraum
> für die [mm]\mathcal{A} \sigma-ALgebra.[/mm] Nun dachte ich dass
> ich [mm]C^c[/mm] = [mm]\Omega \setminus[/mm] C anschauen muss, aber so komme
> ich auf keinen roten faden.
Das kapiere ich nicht!
Willst Du den Beweis, warum [mm] $\mathcal{A} \setminus [/mm] A$ eine Sigma-Algebra
auf [mm] $A\,$ [/mm] ist?
Klar ist doch, dass $A [mm] \cap \emptyset=\emptyset$ [/mm] und mit/wegen [mm] $B:=\emptyset \in \mathcal{A}$ [/mm] folgt
dann per Definitionem von [mm] $\mathcal{A} \setminus [/mm] A$ somit [mm] $\emptyset \in \mathcal{A} \setminus A\,.$
[/mm]
Ferner bekommst Du $A [mm] \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A$ raus, indem Du [mm] $B:=\Omega \in \mathcal{A}$ [/mm] betrachtest.
(Beachte, dass oben nur $A [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] und nicht auch $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] gefordert wurde -
Du kannst also nicht sagen, dass Du [mm] $B:=A\,$ [/mm] wählen könntest! I.A. wird
$A [mm] \notin \mathcal{A}$ [/mm] (möglich) sein!)
Zum Komplement:
Sei $P [mm] \in \mathcal{A} \setminus A\,.$ [/mm] Dann existiert nach Definitionem von [mm] $\mathcal{A} \setminus [/mm] A$
ein $Q [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] mit $P=A [mm] \cap Q\,.$ [/mm] Es folgt
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;A \setminus [/mm] P=A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] Q)=A [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap Q)^C=A \cap (A^C \cup Q^C)=(A \cap A^C) \cup [/mm] (A [mm] \cap Q^C)=A \cap Q^C\,,$$
[/mm]
wobei wir hier mit [mm] $T^C$ [/mm] halt [mm] $T^C:=\Omega \setminus [/mm] T$ meinen.
[mm] $(\*)$ [/mm] zeigt, dass auch $(A [mm] \setminus [/mm] P) [mm] \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A$ gilt.
Ist Dir das klar? ("Die Sache mit Vereinigungen" exerziere ich jetzt erstmal
nicht durch.)
Ich schreibe übrigens oben extra nur [mm] $^C\,,$ [/mm] wenn ich Komplementbildung
bzgl. [mm] $\Omega$ [/mm] meine. Um's klarer zu machen, habe ich keine
"Komplementabkürzende" Schreibweise bzgl. [mm] $\mathcal{A} \setminus [/mm] A$ verwendet,
sondern wirklich da hin geschrieben, was da für ein Komplement gemeint
ist!
(Man kann auch sowas machen, wie [mm] $C_\Omega(T):=\Omega \setminus [/mm] T$ schreiben,
damit kann man das ganze auch komplett sauber schreiben. D.h., wenn Du
die "Komplementeigenschaft" bzgl. [mm] $\mathcal{A} \setminus [/mm] A$ damit formulierst, so besagt sie:
Für alle $P [mm] \in \mathcal{A} \setminus \red{A}$ [/mm] gilt auch [mm] $C_\red{A}(P) \in \mathcal{A} \setminus \red{A}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 So 28.04.2013 | | Autor: | sissile |
Du hast mein Problem erkannt und beanwortet.
Vollstädnisgkeitshalber:
-) Vereinigung
[mm] P_n \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A , n [mm] \in \IN
[/mm]
Nach Definition von [mm] \mathcal{A} \setminus [/mm] A [mm] \exists Q_n \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] P_n [/mm] = A [mm] \cap Q_n
[/mm]
ZZ.: [mm] \bigcup_{n\in \IN} P_n \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A
[mm] \bigcup_{n\in \IN} P_n [/mm] = [mm] \bigcup_{n\in \IN} [/mm] (A [mm] \cap Q_n) [/mm] = A [mm] \cap \bigcup_{n\in \IN} Q_n \in \mathcal{A} \setminus [/mm] A da [mm] \bigcup_{n\in \IN} Q_n \in \mathcal{A}
[/mm]
Jetzt habe ich hier eine Frage ob ich bei einer unendlichen Vereinigung soeinfach "ausseinanderziehen" darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mia,
> Du hast mein Problem erkannt und beanwortet.
sehr gut! 
> Vollstädnisgkeitshalber:
> Vereinigung
> [mm]P_n \in \mathcal{A} \setminus[/mm] A , n [mm]\in \IN[/mm]
> Nach
> Definition von [mm]\mathcal{A} \setminus[/mm] A [mm]\exists Q_n \in \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]P_n[/mm] = A [mm]\cap Q_n[/mm]
> ZZ.: [mm]\bigcup_{n\in \IN} P_n \in \mathcal{A} \setminus[/mm]
> A
> [mm]\bigcup_{n\in \IN} P_n[/mm] = [mm]\bigcup_{n\in \IN}[/mm] (A [mm]\cap Q_n)[/mm]
> = A [mm]\cap \bigcup_{n\in \IN} Q_n \in \mathcal{A} \setminus[/mm] A
> da [mm]\bigcup_{n\in \IN} Q_n \in \mathcal{A}[/mm]
> Jetzt habe ich
> hier eine Frage ob ich bei einer unendlichen Vereinigung
> soeinfach "ausseinanderziehen" darf.
Meinst Du die Gleichheit [mm] $\bigcup_{n\in \IN}(A \cap Q_n)=A \cap \bigcup_{n \in \IN}Q_n$?
[/mm]
Nunja: Ist $x [mm] \in \bigcup_{n\in \IN}(A \cap Q_n)\,,$ [/mm] so existiert ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap Q_m\,.$ [/mm]
Daher ist $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in Q_m \subseteq \bigcup_{n \in \IN}Q_n\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap \bigcup_{n \in \IN}Q_n\,.$ [/mm] Daher gilt [mm] "$\subseteq$".
[/mm]
Ist umgekehrt [mm] $\tilde{x} \in [/mm] A [mm] \cap \bigcup_{n \in \IN}Q_n\,,$ [/mm] so ist [mm] $\tilde{x} \in [/mm] A$ und es gibt ein
$p [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\tilde{x} \in Q_p\,.$ [/mm] Also ist [mm] $\tilde{x} \in [/mm] (A [mm] \cap Q_p) \subseteq \bigcup_{n \in \IN} [/mm] (A [mm] \cap Q_n)\,.$ [/mm] Also gilt [mm] "$\supseteq$".
[/mm]
Ich weiß, man vergisst sowas immer wieder mal, aber bei solchen Fragen
sollte man sich einfach an die Dinge aus dem ersten Semester erinnern:
Wie beweist man [mm] $A=B\,$ [/mm] für Mengen [mm] $A,B\,$? [/mm] Nunja, es gilt $A = B [mm] \iff \red{(}\;\;(A \subseteq B)\; \wedge \;(B \subseteq A)\;\;\red{)}$...
[/mm]
P.S. Du könntest auch
$$A [mm] \cap \bigcup_{i \in I}Q_i=\bigcup_{i \in I}(A \cap Q_i)$$
[/mm]
für irgendeine (nicht notwendig abzählbare) nichtleere Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm]
genau so beweisen, wie es oben steht. Wir benutzen dort ja nirgends
die Abzählbarkeit von [mm] $\IN$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:01 So 28.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke,
Sowas vergesse ich immer, das man sich leicht die Inklusion herleiten kann. Bei unendlichen Gebilden überleg ich immer gern - was ist nur "erlaubt" was nicht.
Warum nennst du mich Mia?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Danke,
> Sowas vergesse ich immer, das man sich leicht die
> Inklusion herleiten kann. Bei unendlichen Gebilden überleg
> ich immer gern - was ist nur "erlaubt" was nicht.
> Warum nennst du mich Mia?
Verwechslung: Mia gehört zu silfide! Verzeihung ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") !
Gruß,
Marcel
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