Spur einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Spur Sp A einer quadratischen Matrix sei definiert als die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonalen. Zeigen Sie, dass für alle A,B [mm] \in K^{nxn} [/mm] gilt: Sp AB=Sp BA |
Guten Tach
Ich habe die Frage in keinen anderen Internetforum gestellt.
Also ich habe mir zu der Aufgabe folgendes überlegt
Sei A= [mm] \pmat{ a_{1,1}&...........&a_{1,j} \\ .\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\a_{i,1}&...................&a_{i,j} }
[/mm]
Sei B= [mm] \pmat{ b_{1,1}&...........&b_{1,j} \\ .\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\b_{i,1}&...................&b_{i,j} }
[/mm]
Dann ist ergibt sich die Summe der Hauptdiagonale von AB
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=1}^{n} a_{i,j}*b_{j,i})
[/mm]
Wenn ich nun die Matrixen vertausche Ergibt sich als Summe der Hauptdiagonalen als
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=1}^{n} b_{i,j}*a_{j,i})
[/mm]
Da aber auch hier alle Indexstellen von b und von a durchlaufen werden und die Addition und auch Multiplikation kommutaktiv ist, erhält man bei beiden die Gleiche summe
Erste Frage: Stimmt das so?
Zweite Frage: Wenn das stimmt reicht das als beweis aus?
Danke für die Antwort
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Hallo blascowitz!
> Die Spur Sp A einer quadratischen Matrix sei definiert als
> die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonalen. Zeigen Sie,
> dass für alle A,B [mm]\in K^{nxn}[/mm] gilt: Sp AB=Sp BA
> Guten Tach
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> Ich habe die Frage in keinen anderen Internetforum
> gestellt.
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> Also ich habe mir zu der Aufgabe folgendes überlegt
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> Sei A= [mm]\pmat{ a_{1,1}&...........&a_{1,j} \\ .\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\a_{i,1}&...................&a_{i,j} }[/mm]
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> Sei B= [mm]\pmat{ b_{1,1}&...........&b_{1,j} \\ .\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\.\\b_{i,1}&...................&b_{i,j} }[/mm]
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> Dann ist ergibt sich die Summe der Hauptdiagonale von AB
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=1}^{n} a_{i,j}*b_{j,i})[/mm]
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> Wenn ich nun die Matrixen vertausche Ergibt sich als Summe
> der Hauptdiagonalen als
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> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=1}^{n} b_{i,j}*a_{j,i})[/mm]
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> Da aber auch hier alle Indexstellen von b und von a
> durchlaufen werden und die Addition und auch Multiplikation
> kommutaktiv ist, erhält man bei beiden die Gleiche summe
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> Erste Frage: Stimmt das so?
Das müsste wohl so stimmen, ja! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Zweite Frage: Wenn das stimmt reicht das als beweis aus?
Ja, das dürfte wohl auch reichen. Jedenfalls hätte ich es auch so gemacht.  Ich würde nur die Indizes der Matrizen etwas ändern, schließlich sollen es ja auch [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen sein, also:
[mm] A=\pmat{a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\ldots&a_{nn}}
[/mm]
und B entsprechend.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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