Spurform, Dualbasis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:05 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Die Spurform $S: L [mm] \times [/mm] L [mm] \to [/mm] K$ sei gegeben durch: $(x,y) [mm] \mapsto Sp_{L/K}(xy)$
[/mm]
Man zeige:
(i) S ist K-Bilinearform
(ii) S ist nicht-ausgeartet [mm] $\gdw [/mm] L/K$ ist separabel
(iii) Sei nun $L = [mm] K(\alpha), [/mm] f [mm] \in [/mm] K[X]$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] und $n = [L:K]$. Seien fernen [mm] $\beta_i \in [/mm] L [mm] (i=0,\ldots,n-1)$ [/mm] gegeben durch [mm] $\frac{f(X)}{X-\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\beta_i X^1$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\{\beta_i/f'(\alpha)\}$ [/mm] die Dualbasis von [mm] $\{\alpha^i\} [/mm] bezüglich S ist.
(Hinweis: Man definiere die [mm] Spur_{L/K}(f) [/mm] eines Polynoms $f [mm] \in [/mm] L[X]$ und berechne [mm] $Sp_{L/K}\left(\alpha^i/f'(\alpha)\summe_j \beta_j X^j\right)$.) [/mm] |
Hallo,
Aufgabenteile (i) und (ii) waren kein Problem, ich führe sie hier nur aus, da man die Aussagen ja vielleicht in Teil (iii) anwenden soll. Bei diesem Teil komme ich nämlich nicht weiter.
Ich habe zu zeigen, dass [mm] $\{\beta_i/f'(\alpha)\}$ [/mm] duale Basis zu [mm] $\{a^i\}$ [/mm] bzgl. S ist, d.h. [mm] S(a^i, \beta_j/f'(\alpha)\) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] ist zu zeigen.
Ich kann auch leider mit dem Hinweis nicht allzu viel anfangen. Meine erste Idee war, die Spur von $f [mm] \in [/mm] L[X]$ wie folgt zu definieren: [mm] $Sp_{L/K}: [/mm] L[X] [mm] \to [/mm] K[X]: f(X) = [mm] \summe_i \lambda_i X^i \mapsto \summe_i Sp_{L/K}(\lambda_i) X^i$.
[/mm]
Um die Behauptung zu zeigen, müsste ich erhalten: [mm] $Sp_{L/K}\left(\alpha^i/f'(\alpha)\summe_j \beta_j X^j\right) [/mm] = [mm] \delta_{ij}X^j [/mm] = [mm] X^i$. [/mm] Daraus würde die Behauptung folgen. Aber ich komme leider nicht da hin:
[mm] $Sp_{L/K}\left(\alpha^i/f'(\alpha)\summe_j \beta_j X^j\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n-1}Sp_{L/K}\left(\frac{\alpha^i}{f'(\alpha)}\beta_j\right)X^j$.
[/mm]
Es gilt $f'(X) = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\beta_i X^i+(X-\alpha)\summe_{i=1}^{n-1}\beta_i [/mm] i [mm] a^{i-1} \Rightarrow f'(\alpha) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\beta_i \alpha^i$.
[/mm]
Irgendwie komme ich mit alldem nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Habe ich schon komlpett den falschen Ansatz gewählt?
LG Lippel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 27.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Sei [mm]L/K[/mm] eine endliche Körpererweiterung. Die Spurform [mm]S: L \times L \to K[/mm]
> sei gegeben durch: [mm](x,y) \mapsto Sp_{L/K}(xy)[/mm]
>
> Man zeige:
> (i) S ist K-Bilinearform
> (ii) S ist nicht-ausgeartet [mm]\gdw L/K[/mm] ist separabel
> (iii) Sei nun [mm]L = K(\alpha), f \in K[X][/mm] das Minimalpolynom
> von [mm]\alpha[/mm] und [mm]n = [L:K][/mm]. Seien fernen [mm]\beta_i \in L (i=0,\ldots,n-1)[/mm]
> gegeben durch [mm]\frac{f(X)}{X-\alpha} = \summe_{i=0}^{n-1}\beta_i X^1[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]$\{\beta_i/f'(\alpha)\}$[/mm] die Dualbasis von
> [mm]$\{\alpha^i\}[/mm] bezüglich S ist.
> (Hinweis: Man definiere die [mm]Spur_{L/K}(f)[/mm] eines Polynoms [mm]f \in L[X][/mm]
> und berechne [mm]Sp_{L/K}\left(\alpha^i/f'(\alpha)\summe_j \beta_j X^j\right)[/mm].)
>
> Hallo,
>
> Aufgabenteile (i) und (ii) waren kein Problem, ich führe
> sie hier nur aus, da man die Aussagen ja vielleicht in Teil
> (iii) anwenden soll. Bei diesem Teil komme ich nämlich
> nicht weiter.
>
> Ich habe zu zeigen, dass [mm]$\{\beta_i/f'(\alpha)\}$[/mm] duale
> Basis zu [mm]$\{a^i\}$[/mm] bzgl. S ist, d.h. [mm]S(a^i, \beta_j/f'(\alpha)\)[/mm]
> = [mm]\delta_{ij}$[/mm] ist zu zeigen.
>
> Ich kann auch leider mit dem Hinweis nicht allzu viel
> anfangen. Meine erste Idee war, die Spur von [mm]f \in L[X][/mm] wie
> folgt zu definieren: [mm]Sp_{L/K}: L[X] \to K[X]: f(X) = \summe_i \lambda_i X^i \mapsto \summe_i Sp_{L/K}(\lambda_i) X^i[/mm].
>
> Um die Behauptung zu zeigen, müsste ich erhalten:
> [mm]Sp_{L/K}\left(\alpha^i/f'(\alpha)\summe_j \beta_j X^j\right) = \delta_{ij}X^j = X^i[/mm].
> Daraus würde die Behauptung folgen. Aber ich komme leider
> nicht da hin:
> [mm]Sp_{L/K}\left(\alpha^i/f'(\alpha)\summe_j \beta_j X^j\right) = \summe_{j=0}^{n-1}Sp_{L/K}\left(\frac{\alpha^i}{f'(\alpha)}\beta_j\right)X^j[/mm].
>
> Es gilt [mm]f'(X) = \summe_{i=0}^{n-1}\beta_i X^i+(X-\alpha)\summe_{i=1}^{n-1}\beta_i i a^{i-1} \Rightarrow f'(\alpha) = \summe_{i=0}^{n-1}\beta_i \alpha^i[/mm].
>
> Irgendwie komme ich mit alldem nicht weiter. Kann mir
> jemand helfen? Habe ich schon komlpett den falschen Ansatz
> gewählt?
Seien [mm] $\sigma_i [/mm] : L [mm] \to \overline{K}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ alle $K$-Einbettungen von $L$ in [mm] $\overline{K}$. [/mm] Dann ist [mm] $Spur_{L/K}(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \sigma_i(x)$.
[/mm]
Jetzt kannst du [mm] $\sigma_i$ [/mm] zu [mm] $\sigma_i^\ast [/mm] : L[X] [mm] \to \overline{K}[X]$ [/mm] fortsetzen mit [mm] $\sigma_i^\ast(X) [/mm] = X$, und dann [mm] $Spur_{L/K}(g) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \sigma_i^\ast(g)$ [/mm] definieren fuer $g [mm] \in [/mm] L[X]$. Dies liefert genau die gleiche Spur wie die, die du auf $L[X]$ definiert hast. Sei ohne Einschraenkung [mm] $\sigma_1 [/mm] = [mm] id_L$.
[/mm]
Jetzt ist $f(X) = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (X - [mm] \sigma_i(\alpha))$, $\sum_{i=0}^{n-1} \beta_i X^i [/mm] = [mm] \frac{f(X)}{X - \sigma_1(\alpha)} [/mm] = [mm] \prod_{i=2}^n [/mm] (X - [mm] \sigma_i(\alpha))$.
[/mm]
Wegen [mm] $f'(\alpha) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n-1} \beta_i \alpha^i$ [/mm] (deine Rechnung) ist [mm] $f'(\alpha) [/mm] = [mm] \prod_{i=2}^n (\alpha [/mm] - [mm] \sigma_i(\alpha))$.
[/mm]
Damit kannst du [mm] $\sigma_j^\ast(\alpha^i [/mm] / [mm] f'(\alpha) \sum_{k=0}^{n-1} \beta_k X^k)$ [/mm] zu [mm] $\sigma_j(\alpha)^i \prod_{k \neq j} \frac{X - \sigma_k(\alpha)}{\sigma_j(\alpha) - \sigma_k(\alpha)}$ [/mm] umformen (mit einer Permutation der Faktoren im Produkt).
Wenn du damit [mm] $Spur_{L/K}(\alpha^i [/mm] / [mm] f'(\alpha) \sum_{k=0}^{n-1} \beta_k X^k)$ [/mm] mit meiner Definition oben ausrechnest, erhaelst du ein Polynom vom Grad $< n$, welches stark der Formel fuer Lagrange-Interpolation aehnelt. Wenn du diese Aehnlichkeit siehst und benutzt, kannst du folgern, dass das Polynom gerade [mm] $X^i$ [/mm] sein muss, da es sich in $n$ verschiedenen Funktionswerten (naemlich [mm] $\sigma_j(\alpha)$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n$) wie [mm] $X^i$ [/mm] verhaelt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Do 28.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Tausend Dank Felix, habe die Aufgabe hinbekommen :)
LG Lippel
|
|
|
|
