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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Do 24.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | Die Gruppe G wirke von links auf der Menge M.
(a) Die Elemente m1, m2 [mm] \in [/mm] M mögen zur selben Bahn der Gruppenwirkung von G gehören.
Zeige: Die Stabilisatoren [mm] Stab_{G}(m1) [/mm] und [mm] Stab_{G}(m2) [/mm] sind konjugiert.
(b) Gib ein Beispiel, dass für m1 und m2 aus verschiedenen Bahnen die Stabilisatoren nicht konjugiert
zu sein brauchen. |
Hallo,
ich komme hier einfach nicht weiter. Zum Verständnis:
Das die Gruppe G auf M wirkt heißt ja, dass
(fg)m = f(mg) für alle m aus M und für alle f, g aus G. Weiterhin weiß ich, dass 1m = m für jedes m und 1 ist das neutrale Element in G.
Was heißt aber nun, dass die Elemente m1 und m2 zur selben Bahn der Gruppenwirkung gehören?
Die Bahn für ein festes m ist jst ja mG = [mm] \{mg : g \in G\}.
[/mm]
Ich dachte die Bahn bezieht sich auf nur ein festes m, wie können dann m1 und m2 zur selben Bahn gehören? Ich verstehe nicht was gemeint ist ...
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> ich komme hier einfach nicht weiter. Zum Verständnis:
> Das die Gruppe G auf M wirkt heißt ja, dass
> (fg)m = f(mg) für alle m aus M und für alle f, g aus G.
> Weiterhin weiß ich, dass 1m = m für jedes m und 1 ist das
> neutrale Element in G.
> Was heißt aber nun, dass die Elemente m1 und m2 zur
> selben Bahn der Gruppenwirkung gehören?
>
> Die Bahn für ein festes m ist jst ja mG = [mm]\{mg : g \in G\}.[/mm]
>
> Ich dachte die Bahn bezieht sich auf nur ein festes m, wie
> können dann m1 und m2 zur selben Bahn gehören? Ich
> verstehe nicht was gemeint ist ...
$mG$, so wie du es oben definiert hast, ist eine Teilmenge von $M$. Die Bahn des Elements $m$ enthält alle Elemente, auf die $m$ unter Wirkung der Gruppe "abgebildet" werden kann. Nun gehören [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] zur gleichen Bahn, d.h. es gibt ein $m [mm] \in [/mm] M$, sodass [mm] $m_1 \in [/mm] mG$ und [mm] $m_2 \in [/mm] mG$, da bedeutet es gibt [mm] $g_1, g_2 \in [/mm] G$, sodass [mm] $m_1 [/mm] = [mm] mg_1, m_2 [/mm] = [mm] mg_2$.
[/mm]
Kommst du damit weiter?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Do 24.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Danke, das hat mir geholfen :)
Jetzt fehlt nur noch Teil (b), hast Du da für mich auch so einen tollen Tipp?
Gruß und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Fr 25.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke soweit :)
>
> Den Schritt von Dir habe ich verstanden aber weiter komme
> ich trotzdem nicht. Was ich zeigen muss ist ja, dass es ein
> k [mm]\in[/mm] G gibt, so dass [mm]kg_{m1}k^{-1}m_{2}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm] für ein
> beliebiges [mm]g_{m1}[/mm] aus dem Stab von m1. Die Frage ist nur,
Multiplizier die Gleichung von Links mit [mm] $k^{-1}$. [/mm] Dann ueberleg dir, dass dies immer gilt, falls [mm] $k^{-1} m_2 [/mm] = [mm] m_1$ [/mm] ist.
Also, wie kannst du $k$ waehlen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:29 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Der Hinweis von Lippel hat mir sehr geholfen und ich habe die Aufgabe schon gelöst.
Habt ihr ncoh so einen tollen Tipp für Teil (b) für mich?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:05 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hi, ich wollte nochmal fragen, ob mir jemand beim (b)-Teil helfen kann :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Sa 26.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Der Hinweis von Lippel hat mir sehr geholfen und ich habe
> die Aufgabe schon gelöst.
>
> Habt ihr ncoh so einen tollen Tipp für Teil (b) für mich?
1) Gegeben eine Gruppe $G$ und eine Untergruppe $U$, kannst du eine Aktion von $G$ auf einer Menge finden, die gerade fuer ein Element den Stabilisator $U$ hat?
2) Gegeben zwei Operationen [mm] $\varphi_1 [/mm] : G [mm] \times M_1 \to M_1$ [/mm] und [mm] $\varphi_2 [/mm] : G [mm] \times M_2 \to M_2$, [/mm] kannst du eine Operation von $G$ auf $M = [mm] M_1 \cup M_2$ [/mm] (disjunkte Vereinigung) finden, die auf [mm] $M_1$ [/mm] mit [mm] $\varphi_1$ [/mm] und auf [mm] $M_2$ [/mm] mit [mm] $\varphi_2$ [/mm] uebereinstimmt?
Mit 1) und 2) kombiniert kannst du die Aufgabe loesen. Beachte z.B., dass in einer abelschen Gruppe zwei Untergruppen genau dann konjugiert sind, wenn sie gleich sind.
LG Felix
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