Stabilisator,p-Sylow-Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Sinchen2306 |
Hallo zusammen!
Bin mal wieder echt planlos und wäre für ein paar Anregungen zu den folgenden Aufgaben dankbar:
1. Zeige, dass jede Gruppe G der Ordnung 30 oder 56 eine normale p-Sylow-Untergruppe H enthält mit 1 [mm] \not= [/mm] H und H [mm] \not= [/mm] G.
2. Sei K ein endlicher Körper der Charakteristik p>0. Sei GL(n,K) die Gruppe der invertierbaren (n,n)-Matrizen über K.
(i) Betrachte die Operation von GL(n,K) auf [mm] K^{n}
[/mm]
q: GL(n,K) x [mm] K^{n} \to K^{n}
[/mm]
(A,v) [mm] \mapsto [/mm] A(v).
Berechne den Stabilisator von
[mm] e_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0}
[/mm]
(ii) Sei D [mm] \subset [/mm] GL(n,K) die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonalelemente gleich 1 sind. Ist D eine p-Sylow-Untergruppe?
3. Sei G eine Gruppe der Ordnung 21. Zeige, dass entweder G zyklisch ist oder dass G nichttriviale Elemente t und s enthält, für die [mm] t^{3} [/mm] = 1, [mm] s^{7} [/mm] = 1 und [mm] tst^{-1} [/mm] = [mm] s^{2} [/mm] gilt. Zeige, dass zwei Gruppen der Ordnung 21, die nicht zyklisch sind, isomorph sind.
4. Es sei G eine endliche Gruppe und H [mm] \subset [/mm] G ein Normalteiler. Außerdem sei H eine p-Gruppe für eine Primzahl p. Zeige, dass H in jeder p-Sylow-Gruppe von G enthalten ist.
Für jegliche Art von Tipps bin ich sehr dankbar.
VlG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sinchen!
Zu der dritten Aufgabe wurde hier ein heißer Tipp gegeben (mit dem die Aufgabe jetzt einfach zu Ende gelöst werden kann).
Zu den anderen Aufgaben wollen wir erst einmal eigene Ansätze von dir sehen. Wir werden kaum dein gesamtes Hausaufgabenblatt hier vorrechnen. Ein paar eigene Ideen wirst du ja wohl auch haben, oder?
Viele Grüße
Julius
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