Stabilisatoren,Isotropiegruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Roque |
Hallo,
Bei Operationen einer Gruppe G auf einer Menge M gibt es bekanntlich Stabilisatoren (Standgruppe, Isotropiegruppe)
G(m) := $ [mm] \{g \in G | gm = m\} [/mm] $
Kann mir bitte jemand ein konkretes Beispiel nennen wo der Stabilisator NICHT NUR das neutrale Element von G ist??
Die Antwort dient mir persönlich zum besseren Verständniss. Habe mir selbst 1 Woche lang den Kopf zermartert. Ist wie eine Blockade. Habe mir paar Sachen überlegt. Aber nichts allgemeingültiges. Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Na, dann verrat doch einfach mal, wo Deine Gedanken eine Woche lang spazieren gegangen sind. Warum geht das alles nicht auf? Wo "hakt" es?
Aufgabenstellung und Verzweiflungsbehauptung sind zusammen nicht annähernd so gut wie ein noch so schiefgegangener Lösungsansatz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 02.12.2008 | | Autor: | Roque |
Ein Beispiel das ich im Netzt gefunden hatte und versucht habe zu verstehen war:
Sei X = { 1 , 2 ,
, n }, G = Sn
Der Stabilisator des Elementes n [mm] \in [/mm] X besteht aus allen Permutationen von X, die n festlassen. D.h. der Stabilisator ist die Menge aller Permutationen von { 1 , 2 ,
, n-1 } also gleich Sn-1 .
Ich habe für n=3 gewählt, somit wäre
G=S3= {id,(12),(13)(23)(123)(132)}
Der Stabilisator soll jetzt demnach S2={id,(12)} sein.
Natürlich habe ich es ausprobiert. Entweder habe irgendetwas nicht ganz verstanden oder was falsch gemacht oder das Beispiel ist falsch. Letzteres glaube ich weniger.
Wenn ich ganz ehrlich bin, muss ich mich hinterfragen was genau mit "n festlassen" (s.Bsp) gemeint ist.
Irgendwo habe ich auch aufgeschnappt das der Schnitt aller Stabilisatoren, Normalteiler von G wären. Kann man das so Stehen lassen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Di 02.12.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ein Beispiel das ich im Netz gefunden hatte und versucht
> habe zu verstehen war:
>
> Sei X = { 1 , 2 ,
, n }, G = Sn
> Der Stabilisator des Elementes n [mm]\in[/mm] X besteht aus allen
> Permutationen von X, die n festlassen. D.h. der
> Stabilisator ist die Menge aller Permutationen von { 1 , 2
> ,
, n-1 } also gleich Sn-1 .
>
> Ich habe für n=3 gewählt, somit wäre
>
> G=S3= {id,(12),(13)(23)(123)(132)}
>
> Der Stabilisator soll jetzt demnach S2={id,(12)} sein.
>
> Natürlich habe ich es ausprobiert. Entweder habe
> irgendetwas nicht ganz verstanden oder was falsch gemacht
> oder das Beispiel ist falsch. Letzteres glaube ich
> weniger.
Das Beispiel ist schon richtig. Probier doch einfach deine 6 Elemente aus der S3 durch. Was macht z. B. (123) mit der 3? Oder in Abbildungsschreibweise: Was ist [mm] $f_{(123)}$(3)? [/mm] Das ist 1, also ist (123) nicht im Stabilisator der 3.
> Wenn ich ganz ehrlich bin, muss ich mich hinterfragen was
> genau mit "n festlassen" (s.Bsp) gemeint ist.
Kann man sich selbst hinterfragen? Ich glaube nicht.
> Irgendwo habe ich auch aufgeschnappt das der Schnitt aller
> Stabilisatoren, Normalteiler von G wären. Kann man das so
> Stehen lassen??
Stehen lassen kann man das natürlich, überleg dir mal selbst, ob es korrekt ist.
Gruß aus HH-Hamburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Di 02.12.2008 | | Autor: | Roque |
Das heisst
die Stabilisatoren für 3 wären: id und (12).
die Stabilisatoren für 1 wären: id und (23)
und
die Stabilisatoren für 2 wären: id und (13)
richtig?
der Schnitt der Stabilisatoren wäre hier "id" und somit Normalteiler von S3.
richtig?
Vielen Dank für eure bisherigen und zukünftigen schnellen Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 02.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Das heisst
>
> die Stabilisatoren für 3 wären: id und (12).
>
> die Stabilisatoren für 1 wären: id und (23)
>
> und
>
> die Stabilisatoren für 2 wären: id und (13)
>
> richtig?
Genau, und das sind jeweils zur S2 isomorphe Gruppen.
> der Schnitt der Stabilisatoren wäre hier "id" und somit
> Normalteiler von S3.
>
> richtig?
Ja, hier ist das nicht besonders prickelnd. Ich wollte dich eigentlich dazu bewegen, das mal allgemein zu analysieren oder in einem einschlägigen Buch nachzulesen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 02.12.2008 | | Autor: | Roque |
Vielen Dank,
werde mein Wissen vertiefen, obwohl ich das für mein Studium nur teilweise benötige. Es interessiert mich schon. Und ich gehöre zu denen die sich mit Halbwissen nicht zufrieden geben.
Auf dieses Beispiel kann ich aufbauen und weiter recherchieren.
Also Danke nochmal.
Vllt. kannst du mir gute Literatur zu der Thematik empfehlen.
Also besten Dank nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 02.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Vielleicht mal ein etwas geometrischeres Beispiel:
nimm als Gruppe $G$ alle Drehungen des Raumes [mm] $\IR^3$ [/mm] (dies ist die Gruppe [mm] $SL_3(\IR)$) [/mm] und als Menge $X$ die Menge aller Geraden aus [mm] $\IR^3$, [/mm] die durch den Ursprung gehen.
Zu jeder Gerade $L$ durch den Ursprung gibt es genau eine Ebene $E = [mm] E_L$, [/mm] die ebenfalls durch den Urpsrung geht und die senkrecht auf der Geraden steht, d.h. die Ebene besteht aus allen Vektoren, die orthognonal zur Geraden sind.
Schau dir jetzt mal den Stabilisator einer Gerade $L$ an: dies sind alle Drehungen des Raumes, welche die Gerade nicht veraendern. Diese entsprechen aber gerade den Drehungen in der Ebene $E$! Sprich es sind genau die Drehungen, die die Gerade als Drehachse haben (und halt die Identitaet, die gar nichts dreht).
(Du kannst $X$ auch durch die Menge aller Punkte ersetzen; dann musst du eine Fallunterscheidung machen zwischen dem Nullpunkt und den anderen Punkten.)
LG Felix
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