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Hallo...
Ich komme mit der Definition von der Poisson-Stabilität nicht ganz klar:
Eine Ruhelage [mm] $u_0$ [/mm] von $u'(t)=f(u(t))$ heißt Poisson-stabil, falls gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 $ [mm] $\exists \delta [/mm] > 0 $ [mm] $\forall \tilde{u_0}$ [/mm] mit [mm] $d(u_0,\tilde{u_0})<\delta$ [/mm] $ [mm] \forall t\ge [/mm] 0$:
[mm] $d(\phi(0,\tilde{u_0},t),u_0) [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dabei ist [mm] $\phi$ [/mm] der Lösungsfluss, d.h. [mm] $\phi (t_0,u_0,t):=(t_0 +t,u(t_0 [/mm] + t))$.
Mir ist aber nicht klar, was bei der Stabilität passiert, also was in Worte gefasst bei der Definition verlangt wird.
Nehmen wir als Beispiel die DGL [mm] $u'(t)=(u(t))^2$. [/mm] Eine Ruhelage ist doch sicherlich [mm] $u_0=0$. [/mm] ABER: was soll das [mm] $\tilde{u}$ [/mm] darstellen?
Dann wäre ja [mm] $d(\phi(0,\tilde{u_0},t),0)=d((t,\tilde{u}(t)),0)$. [/mm] Ist hiermit gemeint, dass ich die Punkte [mm] $(t,\tilde{u}(t))$ [/mm] und $(0,0)$ vergleiche? Sonst haut das irgendwie mit den Dimensionen nicht hin. Wie und Wo kann ich mir das für diesen Fall graphisch klarmachen, was da passiert?
Viele Grüße, dancingestrella
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Hallo estrella,
> Ich komme mit der Definition von der Poisson-Stabilität
> nicht ganz klar:
> Eine Ruhelage [mm]u_0[/mm] von [mm]u'(t)=f(u(t))[/mm] heißt Poisson-stabil,
> falls gilt:
> [mm]\forall \varepsilon >0[/mm] [mm]\exists \delta > 0[/mm] [mm]\forall \tilde{u_0}[/mm]
> mit [mm]d(u_0,\tilde{u_0})<\delta[/mm] [mm]\forall t\ge 0[/mm]:
>
> [mm]$d(\phi(0,\tilde{u_0},t),u_0)[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\phi[/mm] der Lösungsfluss, d.h. [mm]\phi (t_0,u_0,t):=(t_0 +t,u(t_0 + t))[/mm].
>
> Mir ist aber nicht klar, was bei der Stabilität passiert,
> also was in Worte gefasst bei der Definition verlangt
> wird.
Bist du sicher, dass das genau die definition ist? den abstand zwischen einem zahlentupel [mm] ($\phi(0,\tilde{u_0},t)$) [/mm] und einer Zahl [mm] ($u_0$) [/mm] zu berechnen, macht für mich nicht wirklich viel sinn....
VG
Matthias
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Hallo!
Ja, ich bin mir sicher, dass wir das so in der Vorlesung hatten. Hat jemand anderes vielleicht eine Idee, wie man das interpretieren kann?
Viele Grüße, dancingestrella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 11.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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