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Stabilitätsanalyse: Methodenproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mo 26.07.2010
Autor: wuestenkamel

Aufgabe 1
Hallo!

Ich bin ein Newbie hier und wäre für jede Hilfe sehr sehr dankbar! Ich habe folgende Jacobimatrix, welche um einen Fixpunkt linearisiert ist (das ganze ist aus einem Paper, das ich gerne verstehen würde).

[mm] J=\pmat{r+wh_k & wh_q−c_q & 0 \\ −qr_k − qr_hh_k & −qr_hh_q & 0 \\ . & . & p} [/mm]

Zur Stabilitätsanalyse ist natürlich die Errechnung der Eigenwerte und daher die Aufstellung des charakteristischen Polynoms notwendig:

det(M−λI)=[r + [mm] wh_k [/mm] − [mm] λ_1][−qr_hh_q [/mm] − λ_2][p − λ_3] − [mm] [wh_q [/mm] − [mm] c_q][−qr_k [/mm] − [mm] qr_hh_k][p [/mm] − λ_3] = 0

Aus dem letzten Term ist ein Eigenvektor leicht ersichtlich: λ_3=p wobei per Definition gilt, dass p>0. Der Autor schreibt nun, um zu zeigen, dass das System stabil ist, reiche es aus zu zeigen, dass die beiden anderen Eigenwerte entgegengesetzte also negative Vorzeichen haben [λ_1,λ_2<0]. Dazu müsse nur nachgewiesen werden, dass die erste Determinante der zweiten Ordnung negativ ist, daher:
[mm] \vmat{r+wh_k & wh_q−c_q \\ −qr_k − qr_hh_k & −qr_hh_q}<0 [/mm]
  

Aufgabe 2
Ich habe wiederum folgende Jacobimatrix [aus einem anderen Paper] (diesmal 2x2):

[mm] \pmatrix{0 & (1-\theta)f''(k)C/\eta \\ -1 & (1-\theta)(f''(k)k+f'(k))} [/mm]

Dieses System soll sattelpfadstabil sein. Hier hab ich aus einer Sekundärquelle, dass es ausreichen würde zu zeigen, dass die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen haben und real sind. Dies könne gezeigt werden indem man nachweist, dass [mm] Spur^2−4det>0 [/mm] und λ_1λ_2=det<0.  

Nun meine Fragen:

@Aufgabe 1.: Welches Kriterium wird hier angewandt? Handelt es sich dabei um eine Abwandlung des Routh-Hurwitz Kriteriums?

@Aufgabe 2.: Um zu zeigen, dass beide Eigenwerte Real sind muss ich ja nur zeigen, dass der Ausdruck unter der Klammer, bei der Lösungsformel des charakteristischen Polynoms, positiv ist. Das ist auch verständlich. Nur wo finde ich eine übersichtliche deutsche Tabelle die mir die verschiedenen Stabilitätsarten auflistet? Gibt es irgendwelche Tricks dieses Kriterium bei höherdimensionalen Systemen anzuwenden?

Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir Hinweise geben könntet, etwa auch wo ich eine einfache Kochbuch-mäßige Anleitung zu dieser Dynamik finde. Das muss nicht unbedingt allgemein sein, ich bin Vwler und hab eh nur mit 3 höchstens 4 dimensionalen Systemen zu tun.

Vielen Dank im Voraus, beste Grüße

Andi


P.S. Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:  sci.math (newsgroup, leider reagiert dort keiner. wenn ich eine antwort habe, werde ich das umgehend hier posten oder dort)

        
Bezug
Stabilitätsanalyse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mo 26.07.2010
Autor: fred97

Zu Aufgabe 1:

Entweder hast Du etwas mißverstanden oder ich. Nehmen wir uns mal eine 2X2 - Matrix A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] her.

Diese hat das char. Polynom [mm] $p(\lambda)= \lambda^2-(a+d)\lambda+det(A)$ [/mm]

Nach dem Satz von Vieta gilt für die Nullstellen [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm]  von p , also für die Eigenwerte von A:

              [mm] $\lambda_1+ \lambda_2= [/mm] a+d$ und [mm] $\lambda_1* \lambda_2=det(A)$ [/mm]

Ist also det(A)<0, so ist  [mm] \lambda_1>0 [/mm] und  [mm] \lambda_2<0 [/mm]  oder umgekehrt

FRED

Bezug
        
Bezug
Stabilitätsanalyse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mo 26.07.2010
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Ich bin ein Newbie hier und wäre für jede Hilfe sehr sehr
> dankbar! Ich habe folgende Jacobimatrix, welche um einen
> Fixpunkt linearisiert ist (das ganze ist aus einem Paper,
> das ich gerne verstehen würde).
>  
> [mm]J=\pmat{r+wh_k & wh_q−c_q & 0 \\ −qr_k − qr_hh_k & −qr_hh_q & 0 \\ . & . & p}[/mm]
>  
> Zur Stabilitätsanalyse ist natürlich die Errechnung der
> Eigenwerte und daher die Aufstellung des charakteristischen
> Polynoms notwendig:
>  
> det(M−λI)=[r + [mm]wh_k[/mm] − [mm]λ_1][−qr_hh_q[/mm] − λ_2][p −
> λ_3] − [mm][wh_q[/mm] − [mm]c_q][−qr_k[/mm] − [mm]qr_hh_k][p[/mm] − λ_3] =
> 0
>  
> Aus dem letzten Term ist ein Eigenvektor leicht
> ersichtlich: λ_3=p wobei per Definition gilt, dass p>0.
> Der Autor schreibt nun, um zu zeigen, dass das System
> stabil ist, reiche es aus zu zeigen, dass die beiden
> anderen Eigenwerte entgegengesetzte also negative
> Vorzeichen haben [λ_1,λ_2<0]. Dazu müsse nur
> nachgewiesen werden, dass die erste Determinante der
> zweiten Ordnung negativ ist, daher:
> [mm]\vmat{r+wh_k & wh_q−c_q \\ −qr_k − qr_hh_k & −qr_hh_q}<0[/mm]
>  
>  
> Ich habe wiederum folgende Jacobimatrix [aus einem anderen
> Paper] (diesmal 2x2):
>  
> [mm]\pmatrix{0 & (1-\theta)f''(k)C/\eta \\ -1 & (1-\theta)(f''(k)k+f'(k))}[/mm]
>  
> Dieses System soll sattelpfadstabil sein. Hier hab ich aus
> einer Sekundärquelle, dass es ausreichen würde zu zeigen,
> dass die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen haben und
> real sind. Dies könne gezeigt werden indem man nachweist,
> dass [mm]Spur^2−4det>0[/mm] und λ_1λ_2=det<0.  
> Nun meine Fragen:
>  
> @Aufgabe 1.: Welches Kriterium wird hier angewandt? Handelt
> es sich dabei um eine Abwandlung des Routh-Hurwitz
> Kriteriums?
>  
> @Aufgabe 2.: Um zu zeigen, dass beide Eigenwerte Real sind
> muss ich ja nur zeigen, dass der Ausdruck unter der
> Klammer, bei der Lösungsformel des charakteristischen
> Polynoms, positiv ist. Das ist auch verständlich. Nur wo
> finde ich eine übersichtliche deutsche Tabelle die mir die
> verschiedenen Stabilitätsarten auflistet? Gibt es
> irgendwelche Tricks dieses Kriterium bei
> höherdimensionalen Systemen anzuwenden?
>  
> Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir Hinweise geben
> könntet, etwa auch wo ich eine einfache Kochbuch-mäßige
> Anleitung zu dieser Dynamik finde. Das muss nicht unbedingt
> allgemein sein, ich bin Vwler und hab eh nur mit 3
> höchstens 4 dimensionalen Systemen zu tun.
>  
> Vielen Dank im Voraus, beste Grüße
>  
> Andi
>  
>
> P.S. Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf
> anderen Internetseiten gestellt:  sci.math (newsgroup,
> leider reagiert dort keiner. wenn ich eine antwort habe,
> werde ich das umgehend hier posten oder dort)

Zu Aufgabe 2:

Sei A wie in meiner 1. Antwort.

           lasse mal die berühmte pq-Formel auf die  Gleichung

             $ [mm] \lambda^2-(a+d)\lambda+det(A)=0$ [/mm]

los und beachte, dass a+d=spur(A) ist

FRED


Bezug
                
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Stabilitätsanalyse: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:13 Mo 26.07.2010
Autor: wuestenkamel

Hallo!

Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Also bezgl. Aufgabe 2 verstehe ich das schon. Das charakteristische Polynom ist

[mm] \lambda^2-tr(j)\lambda+det(J) [/mm]

und die Standardlösungsformel dazu

[mm] \lambda_{1,2}=\frac{p}{2} [/mm] (tr(j) +- [mm] \Wurzel{(tr(J))^2-4det(J)} [/mm]

Damit die Eigenwerte real sind muss natürlich [mm] (tr(J))^2-4det(J)>0. [/mm] Und da in meinem Fall det(J)<0 und [mm] det(J)=\lambda_1\lambda_2 [/mm] müssen diese natürlich unterschiedliche Vorzeichen haben. Das war mir schon klar. Hier hätte mich nur interessiert ob es irgendeine Tabelle gibt wo diese verschiedenen Stabilitätsarten zusammengefasst sind für den 2x2 Fall.

@ Aufgabe 1): Weiter hätte mich interessiert ob sich die von dem Auto beschriebene Methode (übrigens aus diesem Paper: Optimal Taxation of Capital Income in General Equilibrium with Infinite Lives: http://ideas.repec.org/a/ecm/emetrp/v54y1986i3p607-22.html) irgendwie benennen läßt, sodass ich mir eine Beschreibung nachgoogeln kann. Meine Vermutung ist eben, dass es sich um eine Abwandlung des Routh-Hurwitz Krtieriums handelt. Und da würde mich eben auch interessieren ob Ihr über irgendwelche Methoden zur Stabilitätsanalyse Bescheid wißt die man einfach auf höherdimensionale Fälle wie der 3x3 Matrix von Aufgabe 1 anwenden kann. Denn wie überprüft man ob die Eigenwerte realen/imaginären Anteile der Eigenwerte im Fall mit drei Eigenwerten?

Dennoch vielen, vielen Dank! Freue mich natürlich über weiteren Input!

Beste Grüße,

Andi  

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Stabilitätsanalyse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 Di 27.07.2010
Autor: wuestenkamel

push ;-)!

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Bezug
Stabilitätsanalyse: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 28.07.2010
Autor: matux

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