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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | | Stammfkt f(x) = (1- [mm] 2x^2)* e^{-x^2} [/mm] |
Guten Morgen :).
Nachdem ich das Prinzip der partiellen Integration einigermaßen verstanden habe, hab ich mir gedacht ich versuch mich nochmal an dieser netten aufgabe. Nun na ja weit kam ich nicht. Und bevor ich seitenweise rechne > mal eine frage.
f(x) = ( 1 - [mm] 2x^2) e^{-x^2}
[/mm]
u = [mm] (1-2x^2)
[/mm]
v´ = [mm] e^{-x^2}´
[/mm]
u´ = -4x
v = (- 1/2X) * [mm] e^{-x^2}
[/mm]
[ ( [mm] 1-2x^2) [/mm] * (-(1/2X) * [mm] e^{-x^2}) [/mm] ] [mm] -\integral_{a}^{b} [/mm] -4x [mm] *(-(1/2x)*e^{-x^2})
[/mm]
So nun erstmal die frage obs soweit richtig ist. Und zum 2ten : Beim hinteren integral habe ich ja 2 produkte > muss ich dort 2 mal die partielle integration durchführen? Also erstmal mit der klammer > und anschließend noch mit der klammer und den -4x?
LG Susi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Hab jetzt mal weitergerechnet und bin zum entschluss gekommen, dass das mit partieller integration keinen wert hat. Mit was würde man so ne aufgabe denn rechnen ?
LG susi
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Hi, Susa,
ich würde die Aufgabe überhaupt ganz anders angehen.
Die Methode, die ich bei solchen Aufgaben
(f(x) = [mm] (ganzrat.Fkt.)*e^{ganzrat.}) [/mm]
oft verwende, hab' ich selbst "rückwärts integrieren" getauft.
Also:
Wenn Du Deine Funktion f(x) betrachtest, dann ist sie von der Art:
f(x) = (Fkt. 2.Grades)*Exp.
Bei Ableiten entsteht:
f'(x) = (Fkt. 3.Grades)*Exp.
f''(x) = (Fkt. 4.Grades)*Exp.
usw.
Logischer Weise muss dann gelten:
F(x) = (Fkt. 1.Grades)*Exp.
(natürlich nur unter der Voraussetzung, dass eine Stammfunktion in geschlossener Form überhaupt existiert; aber sollte dies nicht der Fall sein, ergibt "meine" Methode einfach einen Widerspruch - und dann weiß man ja auch Bescheid!)
Also: Ansatz für die Stammfunktion Deiner Funktion:
F(x) = (ax + [mm] b)*e^{-x^{2}}
[/mm]
Nach dem HdJ gilt nun: F'(x) = f(x)
Daher: F'(x) = [mm] a*e^{-x^{2}} [/mm] + (ax + [mm] b)*(-2x)*e^{-x^{2}} [/mm]
= [mm] (-2ax^{2} [/mm] - 2bx + [mm] a)*e^{-x^{2}} [/mm]
Und das muss nun gleich sein mit:
(1 - [mm] 2x^{2})*e^{-x^{2}} [/mm]
Da der Exponentialanteil logischer Weise eh' schon identisch ist, müssen nur noch die Klammern gleich sein.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man: a=1; b=0.
Naja, und damit haben wir die Lösung: F(x) = [mm] x*e^{-x^{2}}
[/mm]
Jedoch merke:
Auch für diese Methode gilt, dass sie nicht immer funktioniert - genau wie die anderen Dir bekannten Lösungsverfahren!
Nur Übung und sich daraus ergebendes Fingerspitzengefühl ("Erfahrung"!) werden auf Dauer hilfsreich sein!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Wie bereits einmal angedeutet, funktioniert das so nicht, da die vermeintliche Teilstammfunktion von [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] falsch ist.
[mm] $e^{-x^2}$ [/mm] lässt sich nicht geschlossen integrieren.
Gruß
Loddar
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