Stammfkt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | Stammfkt von
fa(x) = 2 - [mm] 2sin^2(ax) [/mm] |
Hallo
Ich dachte ich bin auf einem guten weg, aber es will einfach nicht so recht. Würde euch ja gerne einen lösungsweg anbieten, aber ich weiß nicht mal im ansatz was ich machen soll. Kann mir mal bitte jemand einen tipp geben?
LG Susi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Du kannst hier auf mehreren Wegen vorgehen. Entweder Du trennst das Inetgral [mm] $\integral{2-2*\sin^2(a*x) \ dx}$ [/mm] auf in [mm] $\integral{2 \ dx}-\integral{2*\sin^2(a*x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{1 \ dx}-2*\integral{\sin^2(a*x) \ dx}$ [/mm] und gehst beim 2. Integral mit partieller Integration vor.
Du kannst aber auch ein Additionstheorem anwenden mit:
[mm] $2-2*\sin^2(a*x) [/mm] \ = \ [mm] 1+\blue{1-2*\sin^2(a*x)} [/mm] \ = \ [mm] 1+\blue{\cos[2*(a*x)]} [/mm] \ = \ [mm] 1+\cos(2a*x)$
[/mm]
Nun mittels Substitution $t \ := \ 2a*x$ weiter ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Also der erste weg wäre mir syphatischer. Nur habe ich keine ahnung, was ich da als u und was als v´ nehmel soll. Und das ^2 am sinus gefällt mir auch nicht wirklich.
LG Susi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Es gilt ja: [mm] $\sin^2(a*x) [/mm] \ = \ [mm] [\sin(a*x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] \sin(a*x)*\sin(a*x)$ [/mm] .
Wähle also: $u \ = \ [mm] \sin(a*x)$ [/mm] sowie $v' \ = \ [mm] \sin(a*x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallöle
Also selbst mit deinem ansatz komme ich nicht weiter:
$ [mm] \integral{2 \ dx}-\integral{2\cdot{}\sin^2(a\cdot{}x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\integral{1 \ dx}-2\cdot{}\integral{\sin^2(a\cdot{}x) \ dx} [/mm] $
u = sin(ax)
v´ = sin(ax)
u´ = cos(ax)
v = - cos(ax)
- 2 * [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(ax) * sin(ax) dx = sin(ax) * (-cos(ax)) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] cos(ax) * (-cos(ax))
Und was muss ich jetzt machen?
LG Susi
|
|
|
| |
|
> Hallöle
>
> Also selbst mit deinem ansatz komme ich nicht weiter:
>
> [mm]\integral{2 \ dx}-\integral{2\cdot{}\sin^2(a\cdot{}x) \ dx} \ = \ 2\cdot{}\integral{1 \ dx}-2\cdot{}\integral{\sin^2(a\cdot{}x) \ dx}[/mm]
>
> u = sin(ax)
> v´ = sin(ax)
> u´ = cos(ax)
> v = - cos(ax)
>
> - 2 * [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] sin(ax) * sin(ax) dx = sin(ax) *
> (-cos(ax)) - [mm]\integral_{a}^{b}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
cos(ax) * (-cos(ax))
>
> Und was muss ich jetzt machen?
>
> LG Susi
Hallo Susi,
setze im letzten Integral $\int{\cos^2(ax)dx}$ für $\cos^2(ax)$ den gleichwertigen Ausdruck $1-\sin^2(ax)$ ein, teile das enstehende Integral auf und stelle die Gleichung nach dem Integral $\int{\sin^2(ax)dx}$ um.
Du solltest folgendes erhalten:
$2\int{\sin^2(ax)dx}=x-\sin(ax)\cos(ax)$
Hier kommt noch der Vorfaktor $-2$ hinzu, der Vor dem Ausgangsintegral steht - du hattest ja $-2\int{\sin^2(ax)dx}$
Also solltest du erhalten: $-4\int{\sin^2(ax)=2\sin(ax)\cos(ax)-2x$
Das dann durch $-4$ teilen und du hast es
Ach ja, dann am Schluss noch den ersten Teil von dem Ausgangsintegral dazumogeln
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Also irgendwie isdas bei mir ein einziger salat aus integral und zahl. Ich seh da den wald vor lauter bäumen nicht. Wie soll ich das jemals gerechnet bekommen :(?
LG Susi
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
ich schreib's mal auf:
$\int{2-\sin^2(ax)dx}=\int{2dx}-2\int{\sin^2(ax)dx}=2x-2\int{\sin^2(ax)dx$
So nun kümmern wir uns um $-2\int{\sin^2(ax)dx}$ Das 2x basteln wir am Schluss wieder dazu
Also $\red{-2\int{\sin^2(ax)dx}}=-2\int{\sin(ax)\sin(ax)dx}=-2\left(-\sin(ax)\cos(ax)-\int{-\cos^2(ax)dx}\right)=-2\left(-\sin(ax)\cos(ax)+\int{\cos^2(ax)dx}\right)$
$=-2\left(-\sin(ax)\cos(ax)+\int{(1-\sin^2(ax))dx}\right)=-2\left(-\sin(ax)\cos(ax)+\int{1dx}-\int{\sin^2(ax)dx}\right)=-2\left(-\sin(ax)\cos(ax)+x-\int{\sin^2(ax)dx}\right)=\red{2\sin(ax)\cos(ax)-2x+2\int{\sin^2(ax)dx}}$
Nun bringen wir das letzte Integral auf die andere Seite und haben:
$-4\int{\sin^2(ax)dx}=2\sin(ax)\cos(ax)-2x\Rightarrow\int{\sin^2(ax)dx}=\frac{x-\sin(ax)\cos(ax)}{2}$
Da kommt jetzt noch das 2x von ganz am Anfang hinzu und fertig ist die Laube
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hi
Danke jetzt ist es nachvollziehbar :). Mal interessehalber die frage > ist das eine eher leichte oder eher schwere aufgabe für 12 klasse?
Ist die Lösung richtig ?
F ( x) = 3x - sin ( ax) * cos(ax)
Wie ist das denn mit den gleichwertigen Begriffen?
Also z.B. diese [mm] cos^2 [/mm] (x) > 1- [mm] sin^2(x)
[/mm]
was gibts denn da sonstnoch für welche bzw wo kann ich das nachlesen?
Ist nämlich sehr hilfreich :)
LG Susi
|
|
|
| |
|
Hallo Susanne,
> Hi
> Danke jetzt ist es nachvollziehbar :). Mal interessehalber
> die frage > ist das eine eher leichte oder eher schwere
> aufgabe für 12 klasse?
>
>
> Ist die Lösung richtig ?
>
> F ( x) = 3x - sin ( ax) * cos(ax)
da fehlt noch das [mm] \cdot{}\frac{1}{2}, [/mm] ansonsten stimmt das
>
> Wie ist das denn mit den gleichwertigen Begriffen?
> Also z.B. diese [mm]cos^2[/mm] (x) > 1- [mm]sin^2(x)[/mm]
Das ist dieser Satz über die Summe der Quadrate von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$:
[/mm]
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
[/mm]
Das kannste in Formelsammlungen oder bei Wikipedia nachlesen
(such mal nach sinus oder cosinus)
> was gibts denn da sonstnoch für welche bzw wo kann ich das
> nachlesen?
> Ist nämlich sehr hilfreich :)
>
>
> LG Susi
Was die Schwierigkeit angeht, so würde ich sagen, so mittelprächtig, die partielle Integration für das Integral von [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] sollte machbar sein.
Die ist hier ja auch nur ein wenig "aufgepustet", so dass die Gefahr besteht, dass man etwas den Überblick verliert.
Also meine Wertung "Mittelschwer" 
Gruß zurück
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hi
versteh grad nicht wo da das 1/2 herkommen soll.
Ich hab gerechnet:
2X - 2 [mm] *\integral_{a}^{b} sin^2 [/mm] (ax) dx
So und da unseren term eingesetzt
2X - 2* ( sin (ax) * cos(ax) - x)
------------------------
2
= 3x - sin(ax) * cos (ax)
oder wo hätte man es einsetzen müssen?
LG Susi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 23.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallöle
Ist doch kein problem :). Ohne dich hätte ich gar nichts aufs blatt gebrach. Ist ja auch nur eine übung für mich selbst > freizeitbeschäftigung sozusagen :). Ich werds jetzt nochmal durchrechen. Wenns probleme gibt melde ich mich nochmal :).
LG Susi
|
|
|
|
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
