matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationStammfktn zu ln(x^2)
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Integration" - Stammfktn zu ln(x^2)
Stammfktn zu ln(x^2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stammfktn zu ln(x^2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mi 20.08.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
gesucht ist eine Stammfktn zu [mm] ln(x^2) [/mm]

mit Integration durch Substitution


mit [mm] u:=x^2 [/mm] und du=2xdx :


[mm] \integral{ln(u)*1/(2x) du} [/mm]

kommt man damit irgendwie auf eine Lösung?

Ich habe mit mehfacher part. Integr. im Kreis herumgerechnet, wobei ich für 1/(2x)=1/u' eingesetzt habe.

Es kommt nicht sinnvolles dabei heraus.

[Es ist natürlich klar, dass mir [mm] ln(x^2)=2*lnx [/mm] die Welt etwas besser aussieht, aber ich will "mit der Brechstange" substituieren.]



Ursprünglich stammt diese Aufgabe von einem (!) Ansatz zur Aufgabe

[mm] \integral{ln(x)*1/ \wurzel{x} dx} [/mm]

mit Substitution u:= [mm] \wurzel{x} [/mm] ->

[mm] \integral{ln(u^2)*1/u* dx} [/mm]


[mm] [/mm]

        
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mi 20.08.2014
Autor: MathePower

Hallo geigenzaehler,

> gesucht ist eine Stammfktn zu [mm]ln(x^2)[/mm]
>  
> mit Integration durch Substitution
>  
> mit [mm]u:=x^2[/mm] und du=2xdx :
>  
>
> [mm]\integral{ln(u)*1/(2x) du} [/mm]
>  
> kommt man damit irgendwie auf eine Lösung?
>  
> Ich habe mit mehfacher part. Integr. im Kreis
> herumgerechnet, wobei ich für 1/(2x)=1/u' eingesetzt
> habe.
>  
> Es kommt nicht sinnvolles dabei heraus.
>


Mit partieller Integration auf die gegebene Funktion
solltest Du zu einer Stammfunktion gelangen.


> [Es ist natürlich klar, dass mir [mm]ln(x^2)=2*lnx[/mm] die Welt
> etwas besser aussieht, aber ich will "mit der Brechstange"
> substituieren.]
>  
>
>
> Ursprünglich stammt diese Aufgabe von einem (!) Ansatz zur
> Aufgabe
>  
> [mm]\integral{ln(x)*1/ \wurzel{x} dx} [/mm]
>  
> mit Substitution u:= [mm]\wurzel{x}[/mm] ->
>  
> [mm]\integral{ln(u^2)*1/u* dx} [/mm]
>


Hier muß auch das "dx" ersetzt werden.
Dann führt dies auf obenstehendes Integral.


>
> [mm][/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mi 20.08.2014
Autor: geigenzaehler

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
bzgl.

$ \integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx} $

$ \integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx} $

Substitution u:=sqrt(x)

...= $ \integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx} $ = $ \integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2* \integral{ln(u^2)*du$




dann Subst. v:=u^2

$   = 2* $ \integral{ln(v)*dv*1/(2u)} $  = \integral{ln(v)*dv*1/u} $

Kann man jetzt hier noch partiell integrieren (mit g=ln(v) und h'= 1/u --- geht das mit 2 versch. Variablen?)  und falls ja waere es sinnvoll oder geht es nicht auf diesem Wege mit der Substitution?

Bezug
                        
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mi 20.08.2014
Autor: MathePower

Hallo geigenzaehler,

> bzgl.
>
> [mm]\integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx}[/mm]
>
> Substitution u:=sqrt(x)
>  
> ...= [mm]\integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2* \integral{ln(u^2)*du[/mm]
>  


Auf dieses Integral kannst Du jetzt
durch partielle Integration berechnen.


>

>
>
> dann Subst. [mm]v:=u^2[/mm]
>  
> [mm]= 2*[/mm] [mm]\integral{ln(v)*dv*1/(2u)}[/mm]  [mm]= \integral{ln(v)*dv*1/u}[/mm]
>
> Kann man jetzt hier noch partiell integrieren (mit g=ln(v)
> und h'= 1/u --- geht das mit 2 versch. Variablen?)  und
> falls ja waere es sinnvoll oder geht es nicht auf diesem
> Wege mit der Substitution?


u ist in diesem Integral noch zu ersetzen,
womit man wieder beim Ausgangsintegral
angelangt ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mi 20.08.2014
Autor: geigenzaehler

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

"> $ \integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2\cdot{} \integral{ln(u^2)\cdot{}du $

>  


Auf dieses Integral kannst Du jetzt
durch partielle Integration berechnen. "


Aber nur, wenn ich das Quadrat vom ln herausziehe und dann ganz normal die Stammfktn zu 1*ln(u) ermittle, oder? DAs ist ja recht einfach.

Die Frage kommt daher: Man nehme an, der Rechnende hat ln(x^2)=2ln(x) nicht parat...

Daher mein Versuch, alles durc part. Integr. und Substitution zu loesen ,was scheinbar ohne o. g. Beziehung nicht geht.

Bezug
                                        
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mi 20.08.2014
Autor: MathePower

Hallo geigenzaehler,

> "> [mm]\integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2\cdot{} \integral{ln(u^2)\cdot{}du[/mm]
>  
> >  

>
>
> Auf dieses Integral kannst Du jetzt
>  durch partielle Integration berechnen. "
>  
>
> Aber nur, wenn ich das Quadrat vom ln herausziehe und dann
> ganz normal die Stammfktn zu 1*ln(u) ermittle, oder? DAs
> ist ja recht einfach.
>  
> Die Frage kommt daher: Man nehme an, der Rechnende hat
> [mm]ln(x^2)=2ln(x)[/mm] nicht parat...

>


Die partielle Integration geht trotzdem:

[mm]\integral_{}^{}{\ln\left(x^{2}\right) \ dx}=x*\ln\left(x^{2}\right)-\integral_{}^{}{x*\left( \ \ln\left(x^{2}\right) \ \right)' \ dx}[/mm]


> Daher mein Versuch, alles durc part. Integr. und
> Substitution zu loesen ,was scheinbar ohne o. g. Beziehung
> nicht geht.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Mi 20.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo geigenzaehler,
>  
> > "> [mm]\integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2\cdot{} \integral{ln(u^2)\cdot{}du[/mm]
>  
> >  

> > >  

> >
> >
> > Auf dieses Integral kannst Du jetzt
>  >  durch partielle Integration berechnen. "
>  >  
> >
> > Aber nur, wenn ich das Quadrat vom ln herausziehe und dann
> > ganz normal die Stammfktn zu 1*ln(u) ermittle, oder? DAs
> > ist ja recht einfach.
>  >  
> > Die Frage kommt daher: Man nehme an, der Rechnende hat
> > [mm]ln(x^2)=2ln(x)[/mm] nicht parat...
>  >
>  
>
> Die partielle Integration geht trotzdem:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\ln\left(x^{2}\right) \ dx}=x*\ln\left(x^{2}\right)-\integral_{}^{}{x*\left( \ \ln\left(x^{2}\right) \ \right)' \ dx}[/mm]

ich rechne mal das Ergebnis zurück:

    [mm] $\{x*\ln(x^2)\}'=1*\ln(x^2)+x*\frac{1}{x^2}*2x=\ln(x^2)+2\,.$ [/mm]

Also

    [mm] $\int \ln(x^2)dx=x*\ln(x^2)-2x.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Mi 20.08.2014
Autor: geigenzaehler

Oh tatsächlich, es geht...

Danke für die Antworten!!

Bezug
        
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Mi 20.08.2014
Autor: Marcel

Hallo Geigenzähler,

> gesucht ist eine Stammfktn zu [mm]ln(x^2)[/mm]

auch, wenn Du das so nun nicht machen wolltest: Zunächst gilt (für $x > [mm] 0\,$) [/mm]

    [mm] $\int \ln(x^2)dx=2*\int \ln(x)dx\,.$ [/mm]

Mit [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] ist [mm] $g(y)=\ln(y)=f^{-1}(y)\,.$[/mm]  []Hiermit folgt dann, dass

    [mm] $G(y):=y*f^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))=y*\ln(y)-e^{\ln(y)}=y*(\ln(y)-1)$ [/mm] (beachte [mm] $F(x)=f(x)=e^x$) [/mm]

eine Stammfunktion von [mm] $g=f^{-1}\,$ [/mm] ist. Also

    [mm] $\int \ln(x^2)dx=2*G(x)=2x*(\ln(x)-1)\,.$ [/mm]

P.S. Den Fall $x < [mm] 0\,$ [/mm] kannst Du auf den Fall $x > [mm] 0\,$ [/mm] zurückführen, oder Du benutzt
sowas wie [mm] $\ln(x^2)=2\ln(|x|)\,.$ [/mm]

P.P.S. Der einzige, wirkliche, Grund, warum ich diese Antwort noch ergänzt
habe, ist eigentlich der Verweis auf die Formel für die Findung einer
Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:19 Do 21.08.2014
Autor: reverend

Hallo,

wie schon gezeigt, ist partielle Integration hier auch direkt möglich. Eine Lösung nur durch Substitution wird man wohl nur erreichen, wenn man die Stammfunktion für die Substitution verwendet, was vollkommen witzllos ist.

Man kann aber auch erst [mm] x=e^u [/mm] substituieren und dann partiell weitermachen, und nur um die Mitteilung dieses Lösungsweges ging es mir bei dieser Antwort.

Es kommt halt drauf an, mit welchen Funktionen man lieber hantiert.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Stammfktn zu ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Do 21.08.2014
Autor: Marcel

Hallo reverend,

> Hallo,
>  
> wie schon gezeigt, ist partielle Integration hier auch
> direkt möglich. Eine Lösung nur durch Substitution wird
> man wohl nur erreichen, wenn man die

eine. ;-)

> Stammfunktion für die
> Substitution verwendet, was vollkommen witzllos ist.

> Man kann aber auch erst [mm]x=e^u[/mm] substituieren und dann
> partiell weitermachen, und nur um die Mitteilung dieses
> Lösungsweges ging es mir bei dieser Antwort.

Habe ich auch schonmal gerechnet - aber in Verschleierung kommt dann
dennoch [mm] $\ln(x^2)=2*\ln(|x|)$ [/mm] zum Tragen. (Wobei hier $x=|x|$ wegen [mm] $x=e^u\,.$) [/mm]

> Es kommt halt drauf an, mit welchen Funktionen man lieber
> hantiert.

Man kann so auch obige Formel, auf die ich verwiesen habe, herleiten:
Die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] habe die Umkehrfunktion [mm] $f\,.$ [/mm] Dann folgt mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] und [mm] $g(y)=x\,$ [/mm]
wegen $dy=f'(x)dx$ und mit [mm] $F\,$ [/mm] als Stammfunktion zu [mm] $f\,$ [/mm]

    [mm] $\int g(y)dy=\int xdy=\int x*f'(x)dx=x*f(x)-\int f(x)dx=x*f(x)-F(x)\,,$ [/mm]

wobei rechterhand noch "die falsche Variable [mm] $x\,$" [/mm] steht. Beachtet man [mm] $f(x)=y\,$ [/mm]
und [mm] $x=g(y)\,,$ [/mm] so folgt

    [mm] $\int g(y)dy=g(y)*y-F(g(y))\,.$ [/mm]

Bei Deinem Vorschlag ist [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] und [mm] $g(y)=f^{-1}(y)=\ln(y)$ [/mm] für $y > [mm] 0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]