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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Di 28.01.2014
Autor: SturmGhost

Ich möchte die Stammfunktion von [mm] f(x)=\bruch{1}{x*ln(x)} [/mm] haben und stehe gerade auf dem Schlauch.

Habe es zu [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{ln(x)} [/mm] umgeschrieben aber irgendwie weiß ich jetzt nicht was ich tun soll. Das die Integration von 1/x = ln(x) ist, ist mir klar. Nur irgendwie komme ich nicht drauf. :s

        
Bezug
Stammfunktion: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Di 28.01.2014
Autor: Loddar

Hallo SturmGhost!


Versuche es mal mit der Substitution $z \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Di 28.01.2014
Autor: SturmGhost

Irgendwie hilft mir das auch nicht wirklich. Mich stört einfach das es ein Produkt ist wo beide Faktoren integriert werden müssen.

[mm] \gdw \bruch{\bruch{1}{x}}{z} [/mm]

[mm] \gdw \bruch{1}{xz} [/mm]

[mm] \gdw (xz)^{-1} [/mm]

Brauche ich nun also partielle Integration?

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Differential ersetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Di 28.01.2014
Autor: Loddar

Hallo SturmGhost!


Bitte schreibe sauber:  [mm]\integral{\bruch{1}{x*\ln(x)} \ \mathrm{dx}}[/mm]

Mit der Substitution [mm]z \ := \ \ln(x)[/mm] musst Du auch das alte Differential [mm]\mathrm{dx}[/mm] durch das neue Differential [mm]\mathrm{dz}[/mm] ersetzen:

[mm]z' \ = \ \bruch{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}} \ = \ \left[ \ \ln(x) \ \right]' \ = \ ...[/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Di 28.01.2014
Autor: SturmGhost

also

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{xz} dx} [/mm]


[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{x} [/mm]

[mm] \gdw [/mm] dx=dz*x

[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{xz}*x dz} [/mm]

[mm] \gdw \integral_{}^{}{\bruch{1}{z} dz} [/mm]

[mm] \gdw [/mm] ln(z) [mm] \Rightarrow [/mm] ln(ln(x))


Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Di 28.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> also

>

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{xz} dx}[/mm]

>
>

> [mm]\bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{x}[/mm]

>

> [mm]\gdw[/mm] dx=dz*x

>

> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{xz}*x dz}[/mm]

>

> [mm]\gdw \integral_{}^{}{\bruch{1}{z} dz}[/mm]

>

> [mm]\gdw[/mm] ln(z) [mm]\Rightarrow[/mm] ln(ln(x)) [ok]

Grausig aufgeschrieben ... was sollen Äquivalenzen zwischen Termen sein?

Stimmt aber im Ergebnis bis auf eine Integrationskonstante und den fehlenden Betrag ...

[mm]\int{\frac{1}{z} \ dz}=\ln(|z|)+C[/mm]


Gruß

schachuzipus

Bezug
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