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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Do 16.04.2015
Autor: zahlenfreund

Aufgabe
Besitzen folgende Funktionen eine Stammfunktion?

(a) f1: R → R,  f1(x) = |x|,
(b) f2: R → R,  f2(x) = [mm] e^{x^{2}} [/mm]
(c) f3: R → R,  f3(x) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{ } x\le 0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{ } \mbox{ x>0} \end{cases} [/mm]

Guten Abend,

a) ja, da die Betragsfunktion stetig ist. (stetige Funktion sind Riemann-Integrierbar)
b) ja (Komposition stetiger Funktion)
c)  ja, weil [mm] f_{3}(x) [/mm] ebenfalls stetig ist.

Wäre erfreut wenn jemand es überprüfen könnte.

Lg zahlenfreund :)







        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Do 16.04.2015
Autor: fred97


> Besitzen folgende Funktionen eine Stammfunktion?
>  
> (a) f1: R → R,  f1(x) = |x|,
>  (b) f2: R → R,  f2(x) = [mm]e^{x^{2}}[/mm]
>  (c) f3: R → R,  f3(x) = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{ } x\le 0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{ } \mbox{ x>0} \end{cases}[/mm]
>  
> Guten Abend,
>  
> a) ja, da die Betragsfunktion stetig ist. (stetige Funktion
> sind Riemann-Integrierbar)


Das ist keine Begründung ! Es gibt Riemann- integrierbare , die keine Stammfunktion besitzen ! Ein Beispiel gebe ich Dir unten an.

Aber jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion.


>  b) ja (Komposition stetiger Funktion)
>  c)  ja, weil [mm]f_{3}(x)[/mm] ebenfalls stetig ist.

Nein. [mm] f_3 [/mm] ist in x=0 nicht stetig.

[mm] f_3 [/mm] besitzt auf [mm] \IR [/mm] keine Stammfunktion. Zeige das so: nimm an [mm] f_3 [/mm] hätte auf [mm] \IR [/mm] die Stammfunktion F. Zeige dann, dass F in x=0 nicht differenzierbar ist. Damit hast Du einen Widerspruch.


Zum versprochenen Beispiel:


Sei g die Einschränkung von [mm] f_3 [/mm] auf das Intervall [-1,1].

g ist über [-1,1] Riemann-integrierbar. Warum ?


g hat aber auf [-1,1] keine Stammfunktion.

FRED

>  
> Wäre erfreut wenn jemand es überprüfen könnte.
>  
> Lg zahlenfreund :)
>  
>
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Do 16.04.2015
Autor: zahlenfreund

Angenommen [mm] f_{3} [/mm] hat eine Stammfunktion F.
z.z. nicht diffbar in x=0.

F'(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] (F(x+h)-F(x))/h  (x=0)
     = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] (F(h)-F(0))/h = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] 1/h [mm] \integral_{0}^{h}{f_{3}(x) dx} [/mm]  hier weiß ich nicht mehr weiter.

Sei g die Einschränkung von $ [mm] f_3 [/mm] $ auf das Intervall [-1,1].

g ist über [-1,1] Riemann-integrierbar. Warum ?
Wir hatten in der Vorlesung,genau dann riemann integrierbar wenn zu jeden [mm] \varepsilon [/mm] >0 Treppenfunktionen c,d existieren mit [mm] a\le g\le [/mm] b mit
[mm] \integral_{a}^{b}{c(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{d(x) dx}\le \varepsilon. [/mm]
g selbst ist eine Treppenfunktion, da g konstant ist für x>0 und [mm] x\le0 [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Fr 17.04.2015
Autor: fred97


> Angenommen [mm]f_{3}[/mm] hat eine Stammfunktion F.
>  z.z. nicht diffbar in x=0.
>  
> F'(x)= [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}[/mm] (F(x+h)-F(x))/h  (x=0)
>       = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}[/mm] (F(h)-F(0))/h =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}[/mm] 1/h [mm]\integral_{0}^{h}{f_{3}(x) dx}[/mm]
>  hier weiß ich nicht mehr weiter.

So wird das nix !

Zunächst folgt aus der Annahme: es ex. [mm] c_1,c_2 \in \IR [/mm] mit:

[mm] F(x)=c_1 [/mm]  für x [mm] \le [/mm] 0 und [mm] F(x)=x+c_2 [/mm] für x>0.

Da F stetig in x=0 ist, ergibt sich [mm] c_1=c_2, [/mm] und damit [mm] F(0)=c_1 [/mm]

Für h<0 ist

    [mm] \bruch{F(h)-F(0)}{h}= \bruch{c_1-c_1}{h}=0. [/mm]

Zeige nun Du, dass

      [mm] \bruch{F(h)-F(0)}{h}=1 [/mm]

für h>0.


>  
> Sei g die Einschränkung von [mm]f_3[/mm] auf das Intervall [-1,1].
>
> g ist über [-1,1] Riemann-integrierbar. Warum ?
> Wir hatten in der Vorlesung,genau dann riemann integrierbar
> wenn zu jeden [mm]\varepsilon[/mm] >0 Treppenfunktionen c,d
> existieren mit



>  [mm]a\le g\le[/mm] b

Hä ???? Was soll das denn ? Meinst Du d [mm] \le [/mm] g [mm] \le [/mm] c auf [a,b] ?

>  mit
> [mm]\integral_{a}^{b}{c(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}{d(x) dx}\le \varepsilon.[/mm]
>  
> g selbst ist eine Treppenfunktion, da g konstant ist für
> x>0 und [mm]x\le0[/mm]

O.K.

FRED

>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Sa 18.04.2015
Autor: zahlenfreund

Danke für deine Hilfe. Ich habe es jetzt hinbekommen, aber eine Frage hätte ich noch.

(Aber jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion.) Reicht es denn nicht einfach auf Stetigkeit zu prüfen, also zeigen dass [mm] f_{3} [/mm] nicht stetig ist ?

Eine Funktion f ist stetig im Punkt a, falls [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x)=f(a).
Wenn ich [mm] f_{3} [/mm] die Stetigkeit im Punkt 0 prüfen will, nehme ich mir eine Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}\to0 [/mm] und prüfe ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=f(0). [/mm] Nun gilt doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0 [/mm] im unendlichen ist die Folge 0 (nach Definition des Grenwertes einer Folge) und somit [mm] f(x_{n})=f(0). [/mm] Oder betrachtet man eine Folge [mm] x_{n} [/mm] die sich 0 nur annährt und nicht erreicht ?
Lg zahlenfreund

Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Hilfe. Ich habe es jetzt hinbekommen, aber
> eine Frage hätte ich noch.
>
> (Aber jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion.) Reicht
> es denn nicht einfach auf Stetigkeit zu prüfen, also
> zeigen dass [mm]f_{3}[/mm] nicht stetig ist ?

nein, das reicht nicht. Es gibt auch unstetige Funktionen, die Stammfunktionen besitzen !

FRED

>  
> Eine Funktion f ist stetig im Punkt a, falls
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] f(x)=f(a).
>  Wenn ich [mm]f_{3}[/mm] die Stetigkeit im Punkt 0 prüfen will,
> nehme ich mir eine Folge [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}\to0[/mm]
> und prüfe ob [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=f(0).[/mm] Nun
> gilt doch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0[/mm] im unendlichen
> ist die Folge 0 (nach Definition des Grenwertes einer
> Folge) und somit [mm]f(x_{n})=f(0).[/mm] Oder betrachtet man eine
> Folge [mm]x_{n}[/mm] die sich 0 nur annährt und nicht erreicht ?
>  Lg zahlenfreund


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