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Forum "Integralrechnung" - Stammfunktion
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Stammfunktion: Partielle Integration
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Di 03.10.2006
Autor: claudia_

Aufgabe
Ermittle eine Stammfunktion

$ [mm] \int \bruch{1+x}{(1-x)^2} [/mm] dx $
$ [mm] \int \bruch{dx}{\wurzel{1+2x}} [/mm] dx $

Hallo zusammen,

schon wieder mal zwei Stammfunktionen die meine Grenzen übersteigen... ;-)

$ [mm] \int \bruch{1+x} {(1-x)^2} [/mm] dx $

$ [mm] \int \bruch{dx}{\wurzel{1+2x}} [/mm] dx $

Vielleicht kann mir jemand helfen ?? Wenn möglich bitte mit Einzelschritten nicht nur das Ergebnis, denn ich sollte es ja irgendwann einmal verstehen.
Vielen lieben Dank

ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Di 03.10.2006
Autor: jasko

Also:

[mm] \int\bruch{1 + x}{(1 - x)^2}dx = \int\bruch{x + 1}{(x - 1)^2}dx = \int\bruch{x + 1 + 1 - 1}{(x - 1)^2}dx = \int\bruch{dx}{x - 1} + 2*\int\bruch{dx}{(x - 1)^2} = I_1 + I_2 [/mm]

[mm] I_1 = \int\bruch{dx}{x -1} = ln(x - 1) + C_1 [/mm]
[mm] I_2 = 2*\int\bruch{dx}{(x - 1)^2} [/mm]

Bei [mm] I_2 [/mm] nimmst du:  [mm] x - 1 = t \Rightarrow x = t + 1 \Rightarrow dx = dt [/mm]

und bekommst so:

[mm] I_2 = 2*\int\bruch{dt}{t^2} = 2*\int t^{-2}dt = -2t^{-1} = -2(x - 1)^{-1} = \bruch{-2}{(x - 1)} + C_2 [/mm]

So bekommst du als Stammfunktion des ersten Integrals:

[mm] ln(x - 1) - \bruch{2}{(x - 1)} + C [/mm]

Bei der Ermittlung der Stammfunktion des zweiten Integrals nimmst du die Supstitution:  [mm] 1 + 2x = t \Rightarrow x = \bruch{t - 1}{2} \Rightarrow dx = \bruch{dt}{2} [/mm]

So bekommst du:

[mm] \int\bruch{dx}{\wurzel{1 + 2x}} = \int\bruch{dt}{\wurzel{t}} = \int t^{\bruch{-1}{2}}dt = 2t^{\bruch{1}{2}} = 2\wurzel{t} = 2\wurzel{1 + 2x} + C [/mm]

Das sollte so jetzt richtig sein.



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