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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 09.07.2007 | | Autor: | kiriS |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Stammfunktion zu [mm] sin(log_{b}x), [/mm] b>0 |
Hallo Zusammen,
leider weiß ich nicht, wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss. Partielle Integration find ich ungeeignet, aber andererseits weiß ich auch nicht, wie ich da substituieren soll.
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen
Vielen lieben Dank im voraus
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> Gesucht ist die Stammfunktion zu [mm]sin(log_{b}x),[/mm] b>0
> Hallo Zusammen,
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> leider weiß ich nicht, wie ich bei der Aufgabe vorgehen
> muss. Partielle Integration find ich ungeeignet, aber
> andererseits weiß ich auch nicht, wie ich da substituieren
> soll.
Hallo,
vielleicht hilft Dir bereits das:
es ist [mm] log_{b}x=\bruch{lnx}{lnb}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kiriS!
Substituiere zunächst $z \ := \ [mm] \log_b(x)$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] b^z [/mm] \ = \ [mm] e^{z*\ln(b)}$
[/mm]
Anschließend geht es dann mit 2-maliger Anwendung der partiellen Integration weiter.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 09.07.2007 | | Autor: | kiriS |
Hallo,
irgendwie versteh ich das mit der Substituition nicht.
Die Ableitung von [mm] log_{b}x [/mm] ist doch [mm] \bruch{1}{xlnb}
[/mm]
Darf ich nicht erst substituieren, wenn die Ableitung mit im Integral angegeben ist?
Könntest du mir dein Vorgehen bitte erklären. Ich versteh es leider nicht :-(
Vielen lieben Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst eben das x in der Ableitung durch die fkt. von z ersetzen, die dir Loddar ja angegeben har.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Do 12.07.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo,
irgendwie versteh ich euren Ansatz nicht. Kiri, könntest du mir vielleicht erklären, wie du nun vorgegangen bist?
Wäre echt nett von dir.
Vielleicht könnte es mir auch jemand anderes erklären.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo clover!
Wir ersetzen also (wie oben geschrieben): $ z \ := \ [mm] \log_b(x) [/mm] $ [mm] $\gdw$ [/mm] $ x \ = \ [mm] b^z [/mm] \ = \ [mm] e^{z\cdot{}\ln(b)} [/mm] $
In Deinem Integral [mm] $\integral{\sin\left[\log_b(x)\right] \ dx}$ [/mm] muss nun auch das Differential [mm] $d\red{x}$ [/mm] durch ein [mm] $d\red{z}$ [/mm] ersetzt werden:
$x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln(b)*e^{z\cdot{}\ln(b)}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \ln(b)*e^{z\cdot{}\ln(b)}*dz$
[/mm]
Dies' setzen wir nun alles in das Integral ein:
[mm] $\integral{\sin\left[ \blue{\log_b(x)}\right] \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin\left[ \blue{z}\right]* \ \red{\ln(b)*e^{z\cdot{}\ln(b)}*dz}} [/mm] \ = \ [mm] \ln(b)*\integral{e^{z\cdot{}\ln(b)}*\sin(z) \ dz} [/mm] \ = \ ...$
Und nun geht es weiter mit partieller Integration ...
Gruß
Loddar
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