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Hallo,
ich habe eine Frage über die Stammfunktionen von komplexen Funktionen.
Soweit ich verstanden habe, hat nicht jede stetige komplexe Funktion eine Stammfunktion. Man braucht also eine zusätzliche Forderung und zwar Holomorphie.
Hat jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion bzw. ist die Holomorphie ausreichend,damit eine komplexe Funktion eine Stammfunktion besizt?Gibt es andere Forderungen und welche?
Gilt auch die Umkehrung,dass jede Funktion in C, die eine Stammfunktion hat, holomorph ist?
Danke im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 23.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Soweit ich verstanden habe, hat nicht jede stetige komplexe
> Funktion eine Stammfunktion. Man braucht also eine
> zusätzliche Forderung und zwar Holomorphie.
>
> Hat jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion bzw. ist
> die Holomorphie ausreichend,damit eine komplexe Funktion
> eine Stammfunktion besizt?Gibt es andere Forderungen und
> welche?
Jede holomorphe Funktion hat eine lokale Stammfunktion, das heisst eine Stammfunktion in einer gewissen Umgebung. Die Umkehrung gilt ebenso.
Ich vermute, dass du nach der globalen Stammfunktion fragst. Dazu muss das Gebiet, in dem die Funktion holomorph ist, einfach zusammenhängend sein.
Beispiel: Die Funktion [mm]f(z)=\bruch{1}{z}[/mm] ist überall holomorph außer im Nullpunkt. Daher hat f(z) in jedem Punkt [mm]z\in\IC\backslash \{0\}[/mm] eine lokale Stammfunktion. Es gibt aber keine globale Stammfunktion in [mm]\IC\backslash \{0\}[/mm], denn dieses Gebiet ist nicht einfach zusammenhängend. Andererseits existiert in jeder offenen Kreisscheibe in [mm]\IC[/mm], die den Nullpunkt nicht enthält, eine globale Stammfunktion von f(z).
Viele Grüße
Rainer
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