Stammfunktion? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f(x)=4-(x-2)², die durch eine Gerade g: y=mx angenähert werden soll. Bestimmen Sie die Steigung m der Geraden so, dass für b=2 gilt:
(...)
b) [mm] \integral_{0}^{b}{(f(x)-mx)² dx} [/mm] wird möglichst klein |
Hallo zusammen,
ich bin mir absolut unsicher ob ich das richtig umgeformt und die Stammfunktion richtig gebildet hab. Vielleicht könnt ihr mal drüber gucken! Danke!
Ich schreibs grad mal in zwei Zwischenschritten damit ich nicht jede Umformung abtippen muss:
[mm] \integral_{0}^{2}{(4-(x^2-4x+4)-mx)²}=\integral_{0}^{2}{(-x^2+(4-m)x)²}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2}{x^4-2x³(4-m)+x^2(16-8m+m²)}
[/mm]
Damit komme ich dann auf die Stammfunktion:
= [mm] \bruch{1}{5}x^5- 0,5x^4(4-m)+\bruch{1}{3}x³(16-8m+m²)
[/mm]
Wenn ich dann die Integrationsgrenzen einsetze erhalte ich:
[mm] =\bruch{8}{3}m² [/mm] - [mm] 13\bruch{1}{3}m [/mm] + [mm] 17\bruch{1}{5}
[/mm]
Stimmt das so? Oder habe ich etwas falsch gemacht? Hab mich nicht getraut weiter zu rechnen weil ich mir so unsicher bin.... :(
Liebe Grüße,
Kati
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Gegeben ist eine Funktion f(x)=4-(x-2)², die durch eine
> Gerade g: y=mx angenähert werden soll. Bestimmen Sie die
> Steigung m der Geraden so, dass für b=2 gilt:
>
> (...)
>
> b) [mm]\integral_{0}^{b}{(f(x)-mx)² dx}[/mm] wird möglichst klein
> Hallo zusammen,
>
> ich bin mir absolut unsicher ob ich das richtig umgeformt
> und die Stammfunktion richtig gebildet hab. Vielleicht
> könnt ihr mal drüber gucken! Danke!
>
> Ich schreibs grad mal in zwei Zwischenschritten damit ich
> nicht jede Umformung abtippen muss:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{(4-(x^2-4x+4)-mx)²}=\integral_{0}^{2}{(-x^2+(4-m)x)²}[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{2}{x^4-2x³(4-m)+x^2(16-8m+m²)}[/mm]
>
> Damit komme ich dann auf die Stammfunktion:
>
> = [mm]\bruch{1}{5}x^5- 0,5x^4(4-m)+\bruch{1}{3}x³(16-8m+m²)[/mm]
Sieht richtig aus.
>
> Wenn ich dann die Integrationsgrenzen einsetze erhalte
> ich:
>
> [mm]=\bruch{8}{3}m²[/mm] - [mm]13\bruch{1}{3}m[/mm] + [mm]17\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Stimmt das so? Oder habe ich etwas falsch gemacht? Hab mich
> nicht getraut weiter zu rechnen weil ich mir so unsicher
> bin.... :(
>
> Liebe Grüße,
>
> Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Super, vielen lieben dank!!!!!! Wünsch dir noch einen schönen Sonntag!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Wie bilde ich denn davon die Stammfunktion?
[mm] \integral_{0}^{1}{(e^{x}-1-mx)² dx}
[/mm]
so???
[mm] =\bruch{1}{3}(e^{x}-1-mx)³\bruch{1}{e^{x}}*-\bruch{1}{m} [/mm] ?
Weil so komme ich nicht auf ein Ergebnis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Wie bilde ich denn davon die Stammfunktion?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(e^{x}-1-mx)² dx}[/mm]
>
> so???
>
> [mm]=\bruch{1}{3}(e^{x}-1-mx)³\bruch{1}{e^{x}}*-\bruch{1}{m}[/mm] ?
>
> Weil so komme ich nicht auf ein Ergebnis
Dein Ergebniss kannst du ganz leicht nachprüfen, indem du es einfach ableitest und schaust, ob die ursprüngliche Funktion wieder rauskommt.
[mm] \integral{(e^{x}-1-mx)² dx} [/mm] = [mm] \integral{(e^x)^2-e^x-mxe^x-e^x+1+mx-mxe^x+mx+m^2x^2 dx} [/mm] das kannst du jetzt einfach alles auseinanderziehen und elementar integrieren (bei [mm] mxe^x [/mm] brauchst du partielle Integration).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Oh Gott, tut mir leid,das hab ich jetzt leider überhaupt nicht verstanden. Wie kommst du denn genau auf dieses lange Integral?
|
|
|
| |
|
Hallo Kati,
> Oh Gott, tut mir leid,das hab ich jetzt leider überhaupt
> nicht verstanden. Wie kommst du denn genau auf dieses lange
> Integral?
Da hat Merle den Klammerausdruck [mm] $(e^x-1-mx)^2$ [/mm] ausmultipliziert:
[mm] $(e^x-1-mx)^2=(e^x-1-mx)\cdot{}(e^x-1-mx)=\left(e^x\right)^2-e^x-e^x\cdot{}mx-e^x+1+mx-mx\cdot{}e^x+mx-mx\cdot{}mx$
[/mm]
Das kannst du nun noch zusammenfassen und dann zur Erleichterung das Integral in die Summe der Einzelintegrale über die einzelnen Summanden aufteilen
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Ahhhh, okay!
Super, dann werd ich das jetzt mal versuchen! Danke schön
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Entschuldigung, aber das ist wohl wirklich nicht meine Aufgabe... ich komm schon wieder nicht weiter.
ich hab das zusammengefasst:
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{x}(e^{x}-2mx-2)} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{mx(-mx+2)} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{1}
[/mm]
Nun hab ich Probleme die partielle Integration bei dem ersten Teilintegral anzuwenden. Denn ich komme an kein Ende, weil ich immer wieder Produkte erhalte, weil die e-Funktion auf- und abgeleitet ja immer [mm] e^{x} [/mm] ist
|
|
|
| |
|
Hallo Kati,
ausgehend von der ausmultiplizierten Klammer würde ich das Integral noch elementarer aufteilen, und zwar so:
[mm] $\int{(e^x-1-mx)^2 \ dx}=...=\int{e^{2x} \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \int{2e^x \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \blue{\int{2mxe^x \ dx}} [/mm] \ + \ [mm] \int{mx \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{1 \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \int{m^2x^2 \ dx}$
[/mm]
Das einzige Integral, das etwas Probleme bereitet, ist das blaue:
Das forme um:
[mm] $\int{2mxe^x \ dx}=2m\cdot{}\int{xe^x \ dx}$
[/mm]
Hier nun partielle Integration mit $u(x)=x$ und [mm] $v'(x)=e^x$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
okay, danke für den Tipp! Das werd ich jetzt mal versuchen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Ich schon wieder :)
ich komme jetzt auf -1/3m³-2,936m-1,242
stimmt das soweit?
|
|
|
| |
|
Hallo kati93,
> Ich schon wieder :)
>
> ich komme jetzt auf -1/3m³-2,936m-1,242
>
> stimmt das soweit?
Leider nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Also ich habs jetzt nochmal probiert, hab auch einen kleinen Vorzeichenfehler gefunden, dh mein Ergebnis ist jetzt anders, aber es klappt trotzdem nicht :(
Ich vermute dass ich schon beim Stammfunktionen bilden was falsch gemacht hab?
Ich find grad leider nicht wie ich das mathematisch richtig mit den Integrationsgrenzen an den Klammern ausdrücke, deshalb lass ich das jetzt weg und setz einfach nur eckige Klammern. Zur Erinnerun, die Grenzen sind a=0 und b=1
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{2x} dx}-2m\integral_{0}^{1}{x*e^{x}dx}+m\integral_{0}^{1}{x dx}+\integral_{0}^{1}{1 dx}-m²\integral_{0}^{1}{x² dx}
[/mm]
= [mm] [0,5*e^{2x}]-2[e^{x}]-2m[x*e^{x}]+[e^{x}]+m[0,5x²]+[x]-m²[1/3x³]
[/mm]
und damit komme ich auf:
=-1/3m²-4,92m+2,48
abgeleitet ergibt das: -2/3m-4,92
und die zweite Ableitung: -2/3
-->aber die zweite Ableitung muss ja positiv sein,damit ich einen Tiefpunkt habe.
|
|
|
| |
|
Hallo Kati,
mir scheint, das zweite Integral, das mit partieller Integration zu lösen ist, ist nicht ganz richtig
Es ist [mm] $-2m\int{xe^x \ dx}=-2m\cdot{}\left[xe^x-\int{e^x \ dx}\right]=-2m\cdot{}\left[xe^x-e^x\right]=-2me^x(x-1)$
[/mm]
Die anderen Integrale sind alle richtig, soweit ich das sehe
Rechne nochmal nach...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 18.05.2008 | | Autor: | kati93 |
okay, den Fehler bei der partiellen Integration hab ich gefunden:
ich habe gedacht dass es eine Minusklammer ist, also so:
[mm] -(2m[x*e^{x}]-[e^{x}]) [/mm] = [mm] -2m[x*e^{x}] [/mm] + [mm] [e^{x}]
[/mm]
ich hab das jetzt verbessert, aber das ändert ja am Ergebnis nichts. Damit verändert sich ja nur das absolute Glied und die Zahl vor dem m² bleibt negativ. ich kann mir das einfach nicht erklären. Ich hab ja in meiner Ausgangsgleichung nur einen Teil mit m² und bei [mm] -m²\integral_{0}^{1}{x² dx} [/mm] ist die Stammfunktion nun mal -m²[1/3x³].
edit: ahhhh, jetzt hab ich den doofen Fehler gefunden! vor das m² kommt ein plus :) das war von Anfang an falsch ausmultipliziert
|
|
|
| |
|
Hallo,
Achtung!
Bei dem Integral, das wir da hatten mit der partiellen Integration, gehört das
$-2m$ vor die Klammer, also [mm] $-2m\cdot{}\left(xe^x-x\right)$.
[/mm]
Wenn du es reinziehst, musst du beide Summanden, [mm] $xe^x$ [/mm] und $-x$ damit multiplizieren.
Der andere Punkt ist mir eben erst aufgefallen, in der Aufgabenstellung sprichst du davon , den Flächeninhalt bis $b=2$ zu untersuchen, aber hier und vorher willst du [mm] $\int\limits_0^1{(...)}$ [/mm] berechnen, also mit b=1.
Hat das einen bestimmten Grund?
Wie dem auch sei, wenn du's mit b=2 rechnest, also 2 als obere Grenze für's Integral, bekommst du eine Flächenfunktion in der Variable m
Deren Extremum bzw. Tiefpunkt musst du dann bestimmen.
Ich hab's eben mal überschlagen, und es sollte m.E. klappen
Also schau nochmal nach, ob du nun von 0 bis 1 oder doch eher von 0 bis 2 integrieren musst.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Mo 19.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Okay, danke für den Hinweis mit dem -2m vor der Klammer, das muss ich korrigieren.
Ich bin auf das richtige Ergebnis gekommen und die Integrationsgrenze war b= 1.
Vielen lieben Dank dass ich mir bei der Aufgabe sooo geholfen habt!!!!!
|
|
|
|
