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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 14.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Welche der Funktionen [mm] F_{i}(x) [/mm] sind Stammfunktionen von [mm] f_{i}(x)?
[/mm]
1) [mm] F_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2+3e^{2x}}{e^{x}+e^{-x}}, f_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{(e^{x}+e^{-x})^{2}} [/mm]
2) [mm] F_{2}(x) [/mm] = [mm] x^{a}*a^{x}, f_{2}(x) [/mm] = [mm] x^{a-1}*a^{x+1} [/mm] + [mm] x^{a}*a^{x}ln(a)
[/mm]
3) [mm] F_{3}(x) [/mm] = x*(1- [mm] ln(\bruch{1}{e^{\bruch{1}{x}}})), f_{3}(x) [/mm] = 1 |
Hallo, ist jemand bitte so nett, und kann meine Lösungen korrigieren?
1) [mm] F_{1}(x)' [/mm] = [mm] \bruch{(2+3e^{2x})'*(e^{x}+e^{-x})-((2+3e^{2x})*(e^{x}+e^{-x})')}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{6e^{2x}*(e^{x}+e^{-x})-((2+3e^{2x})*(e^{x}-e^{-x}))}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{6e^{3x}+6e^{x} -(2e^{x}-2e^{-x}+ 3e^{3x}-3e^{x})}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{6e^{3x}+6e^{x} - 2e^{x}+2e^{-x}- 3e^{3x}+3e^{x}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{3e^{3x}+7e^{x}+2e^{-x}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow F_{1}(x) [/mm] keine Stammfunktion
2) [mm] F_{2}(x)' [/mm] = [mm] a*x^{a-1}*a^{x} [/mm] + [mm] x^{a}*x*a^{x-1}
[/mm]
= [mm] x^{a-1}*a^{x+1} [/mm] + [mm] x^{a+1}*a^{x-1}
[/mm]
= [mm] x^{a-1}*a^{x+1} [/mm] + [mm] x^{a+1}*a^{x}*\bruch{1}{a}
[/mm]
= [mm] x^{a-1}*a^{x+1} [/mm] + [mm] x^{a+1}*a^{x}*ln(a)
[/mm]
[mm] \Rightarrow F_{2}(x) [/mm] keine Stammfunktion
3) [mm] F_{3}(x) [/mm] = x*(1- [mm] ln(\bruch{1}{e^{\bruch{1}{x}}}))= [/mm] x*(1- [mm] ln(e^{\bruch{-1}{x}}))= [/mm] x*(1- [mm] (\bruch{-1}{x}))= [/mm] x*(1+ [mm] (\bruch{1}{x}))= x+\bruch{x}{x}=x+1
[/mm]
[mm] F_{3}(x)' [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow F_{3}(x) [/mm] ist Stammfunktion
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
Teilaufgabe 3 hast Du korrekt gelöst.
Sehr gut auch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , zunächst die Funktion zu vereinfachen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
Du hast [mm] $a^x$ [/mm] nicht richtig abgleitet.
Bedenke, dass gilt:
[mm] $a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 14.09.2010 | | Autor: | mvs |
ok, danke Loddar für deine Antworten:
dann müsste $ [mm] F_{2}(x)' [/mm] $ = [mm] x^{a-1}\cdot{}a^{x+1} [/mm] + [mm] x^{a}*e^{x*ln(a)}
[/mm]
sein? Wäre aber immer noch keine Stammfunktion dann.
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
Du hast doch [mm] $a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm] nicht (korrekt) abgeleitet.
Bedenke auch die innere Ableitung gemäß  Kettenregel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 14.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Loddar, nochmals danke für die Hilfe,
war mein Fehler, ich hab deinen Tipp so aufgefasst, dass [mm] e^{x\cdot{}\ln(a)} [/mm] die Ableitung von [mm] a^x [/mm] ist.
dann müsste es nun so aussehen:
$ [mm] F_{2}(x)' [/mm] $ = $ [mm] x^{a-1}\cdot{}a^{x+1} [/mm] $ + $ [mm] x^{a}\cdot{}ln(a)*e^{x\cdot{}ln(a)} [/mm] $ = $ [mm] x^{a-1}\cdot{}a^{x+1} [/mm] $ + $ [mm] x^{a}\cdot{}a^{x\cdot{}ln(a)} [/mm] $
nun richtig ? :)
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
> [mm]F_{2}(x)'[/mm] = [mm]x^{a-1}\cdot{}a^{x+1}[/mm] + [mm]x^{a}\cdot{}ln(a)*e^{x\cdot{}ln(a)}[/mm]
Bis hierher stimmt es.
> = [mm]x^{a-1}\cdot{}a^{x+1}[/mm] + [mm]x^{a}\cdot{}a^{x\cdot{}ln(a)}[/mm]
Aber was machst Du dann? Wo ist das [mm] $\ln(a)$ [/mm] und wie kommst Du auf den letzten Faktor?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Di 14.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke Loddar,stimmt, war falsch ..
hatte aber nun eine Erleuchtung.
$ [mm] F_{2}(x)' [/mm] $ = $ [mm] x^{a-1}\cdot{}a^{x+1} [/mm] $ + $ [mm] x^{a}\cdot{}ln(a)\cdot{}e^{x\cdot{}ln(a)} [/mm] $ = $ [mm] x^{a-1}\cdot{}a^{x+1} [/mm] $ + $ [mm] x^{a}\cdot{}a^{x}ln(a) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow F_{2}(x) [/mm] $ ist Stammfunktion
Ich kann es auch begründen, nicht dass es so aussieht, ich würd das nun einfach behaupten. Es gilt ja: [mm] e^{x\cdot{}ln(a)} [/mm] = [mm] a^{x} [/mm]
Wenn das nun falsch ist, dann kapitulier ich.
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
So stimmt es nun.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke Loddar für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs!
Auch bei Teilaufgabe (1) sehe ich keinen Fehler.
Gruß
Loddar
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