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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Wirklich nur ein ganz kleines Problem.
Ich soll die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{ln(x) \* x} [/mm] bestimmen.
Die Lösung muss ln(ln(x)) sein.
Aber wie kommt man da drauf?
Man könnte es auseinander schreiben, also
[mm] \bruch{1}{ln(x)} \* \bruch{1}{x}
[/mm]
aber weiter komme ich nicht. :(
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Hallo Solrakt,
> Hallo.
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> Wirklich nur ein ganz kleines Problem.
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> Ich soll die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{ln(x) \* x}[/mm]
> bestimmen.
>
> Die Lösung muss ln(ln(x)) sein.
>
> Aber wie kommt man da drauf?
Durch Substitution, setze [mm]u=u(x):=\ln(x)[/mm]
Damit [mm]u'(x)=\frac{du}{dx}=\ldots[/mm], also [mm]dx=\ldots \ du[/mm] usw.
>
> Man könnte es auseinander schreiben, also
>
> [mm]\bruch{1}{ln(x)} \* \bruch{1}{x}[/mm]
>
> aber weiter komme ich nicht. :(
s.o.: Mit Substitution geht's schnell und leicht 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also. Ich möchte sicher gehn, dass ich das richtig anwende.
Also, zur Substitution.
u(x) := ln(x)
u'(x) = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
=> dx = du [mm] \* [/mm] x
Richtig? Aber wie geht das weiter? Substitution ist für mich eher neu. Kam in der Schule selten vor. ;) Danke für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
> u(x) := ln(x)
>
> u'(x) = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> => dx = du [mm]\*[/mm] x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Setze dies nun alles in Dein ursprüngliches Integral ein und fasse zusammen. Dann sollte ein ziemlich einfaches Integral verbleiben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Habs verstanden und ausprobiert. Das erwartete Ergebnis kam auch raus. Danke sehr.
Ähm, bei einer Funktion wie cos(ln(x))? Kann man da auch Substitution anwenden?
Habs nämlich mal probiert. Danach partielle Integration.
Mein Ergebnis ist:
sin(ln(x)) [mm] \* [/mm] x + cos(ln(x))
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> Habs verstanden und ausprobiert. Das erwartete Ergebnis kam
> auch raus. Danke sehr.
>
> Ähm, bei einer Funktion wie cos(ln(x))? Kann man da auch
> Substitution anwenden?
Ja, kann man, [mm] $u=u(x):=\ln(x)$ [/mm] und dann 2-mal partiell integrieren!
>
> Habs nämlich mal probiert. Danach partielle Integration.
> Mein Ergebnis ist:
>
> sin(ln(x)) [mm]\*[/mm] x + cos(ln(x))
>
> Stimmt das?
Nicht ganz, geht aber in die richtige Richtung.
Rechne mal vor!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Gut, mach ich.
Also, zur besseren Übersicht nochmal die Funktion:
f(x) = cos(ln(x))
Jetzt wende ich Substitution an:
u(x):= ln(x)
Es folgt:
u'(x) = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
=> dx = du [mm] \* [/mm] x
Durch Einsetzen erhalte ich nun folgendes:
cos(u) [mm] \* [/mm] x du
Da jetzt ein Produkt wieder auftaucht, wende ich die partielle Integration an:
Dabei definiere ich:
a':=cos(u)
b:= x
Nach Regel der partiellen Integration ist folgendes zu tun:
ab - SF[a b']
sin(u) [mm] \* [/mm] x - SF[sin(u)]
sin(u) [mm] \* [/mm] x + cos(u)
Mittels Rücksubstitution erhalte ich als Ergebnis:
sin(ln(x)) [mm] \* [/mm] x + cos(ln(x))
Danke für jede Hilfe.
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Hallo SolRakt,
> Gut, mach ich.
>
> Also, zur besseren Übersicht nochmal die Funktion:
>
> f(x) = cos(ln(x))
>
> Jetzt wende ich Substitution an:
>
> u(x):= ln(x)
>
> Es folgt:
>
> u'(x) = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> => dx = du [mm]\*[/mm] x
>
> Durch Einsetzen erhalte ich nun folgendes:
>
> cos(u) [mm]\*[/mm] x du
>
> Da jetzt ein Produkt wieder auftaucht, wende ich die
> partielle Integration an:
>
> Dabei definiere ich:
>
> a':=cos(u)
> b:= x
Das "x" musst Du hier ersetzen.
Gemäß Substitution ist [mm]x=e^{u}[/mm]
>
> Nach Regel der partiellen Integration ist folgendes zu tun:
>
> ab - SF[a b']
>
> sin(u) [mm]\*[/mm] x - SF[sin(u)]
> sin(u) [mm]\*[/mm] x + cos(u)
>
> Mittels Rücksubstitution erhalte ich als Ergebnis:
>
> sin(ln(x)) [mm]\*[/mm] x + cos(ln(x))
>
> Danke für jede Hilfe.
>
Gruss
MathePower
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