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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Fr 04.02.2011 | | Autor: | fjor |
| Aufgabe | | [mm] t/(1+t^2x^2) [/mm] Zeigen Sie: Die Maßzahl der Fläche, die der Graph von f mit den Koordinatenachsen und der Parallen zur y-Achse durch den Wendepunkt einschließt, ist von t unabhängig. |
Hallo!
Ich habe die Funktion [mm] t/(1+t^2x^2) [/mm] bereits diskutiert. Nun geht es an die Flächenberechnen, wozu ich ja die Stammfunktion benötige. Doch wie errechne die Stammfunktion zu dieser Funktion?
Vielen Dank schon einmal ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fjor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]t/(1+t^2x^2)[/mm] Zeigen Sie: Die Maßzahl der Fläche, die der
> Graph von f mit den Koordinatenachsen und der Parallen zur
> y-Achse durch den Wendepunkt einschließt, ist von t
> unabhängig.
> Hallo!
> Ich habe die Funktion [mm]t/(1+t^2x^2)[/mm] bereits diskutiert. Nun
> geht es an die Flächenberechnen, wozu ich ja die
> Stammfunktion benötige. Doch wie errechne die
> Stammfunktion zu dieser Funktion?
> Vielen Dank schon einmal ...
Die Stammfunktion zu der Funktion
[mm]\bruch{t}{1+t^{2}*x^{2}}[/mm]
ist durch eine Substitution zu bestimmen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Fr 04.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo fjor,
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> > [mm]t/(1+t^2x^2)[/mm] Zeigen Sie: Die Maßzahl der Fläche, die der
> > Graph von f mit den Koordinatenachsen und der Parallen zur
> > y-Achse durch den Wendepunkt einschließt, ist von t
> > unabhängig.
> > Hallo!
> > Ich habe die Funktion [mm]t/(1+t^2x^2)[/mm] bereits diskutiert.
> Nun
> > geht es an die Flächenberechnen, wozu ich ja die
> > Stammfunktion benötige. Doch wie errechne die
> > Stammfunktion zu dieser Funktion?
> > Vielen Dank schon einmal ...
>
>
> Die Stammfunktion zu der Funktion
>
> [mm]\bruch{t}{1+t^{2}*x^{2}}[/mm]
>
> ist durch eine Substitution zu bestimmen.
Da kommst eine Arcustangensfunktion raus.
Gruß Abakus
>
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fjor |
Wie mache ich das bei dieser Funktion denn mit Substitution? Setze ich [mm] g(x)=z=1+t^2x^2 [/mm] und g'(x)=2t^2x?
Komme da irgendwie nicht weiter ...
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Hallo fjor,
> Wie mache ich das bei dieser Funktion denn mit
> Substitution? Setze ich [mm]g(x)=z=1+t^2x^2[/mm] und g'(x)=2t^2x?
> Komme da irgendwie nicht weiter ...
Nein, du hast doch schon den Tipp bekommen, dass eine Arcusfunktion herauskommt.
Das Integral [mm]\int{\frac{1}{1+x^2} \ dx}[/mm] löst man über die Substitution [mm]x=\tan(u)[/mm]
Deines folglich über [mm]tx=\tan(u)[/mm], also [mm]x=\frac{\tan(u)}{t}[/mm]
Damit [mm]x'=\frac{dx}{du}=\ldots[/mm], also [mm]dx=\ldots \ du[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fjor |
ist dx dann gleich 1/(tcos^2u) ?
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Hallo fjor,
> ist dx dann gleich 1/(tcos^2u) ?
Korrekt lautet das dann so:
[mm]dx=\bruch{1}{t \ \cos^{2}\left(u\right)} \ du[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fjor |
soweit so gut ... dann setze ich ja ein und erhalte [mm] 1/((1+tan^2(u)/t^2)*cos^2u) [/mm] du ... und nun?
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Hallo fjor,
> soweit so gut ... dann setze ich ja ein und erhalte
> [mm]1/((1+tan^2(u)/t^2)*cos^2u)[/mm] du ... und nun?
Das Integral lautet doch.
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+t^{2}*x^{2} }\ dx}[/mm]
nicht
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+x^{2} }\ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fjor |
Ach ja stimmt ... gut dann kürzt sich das [mm] t^2 [/mm] ja heraus ... tue mich mit der aufgabe ziemlich schwer, da wir bisher nie mit tan und so gerechnet haben ... habe ich dann da nachher stehen 1/(cos^2u+sin^2u)? und dann?
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Hallo nochmal,
> Ach ja stimmt ... gut dann kürzt sich das [mm]t^2[/mm] ja heraus
> ... tue mich mit der aufgabe ziemlich schwer, da wir bisher
> nie mit tan und so gerechnet haben ... habe ich dann da
> nachher stehen 1/(cos^2u+sin^2u)? und dann?
Ja, was ist denn [mm] $\cos^2(u)+\sin^2(u)$ [/mm] ??
Das kennst du seit der Mittelstufe!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fjor |
[mm] cos^2(u)+sin^2(u)=1 [/mm] aber dann habe ich da doch einfach 1 stehen, wie komme ich denn dann auf den Arkustangens?
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Hallo nochmal,
> [mm]cos^2(u)+sin^2(u)=1[/mm] aber dann habe ich da doch einfach 1
> stehen, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wie komme ich denn dann auf den Arkustangens?
Na, es ist doch [mm] $\int{1 \ du} [/mm] \ = \ u+c$
Und mit der Substitution [mm] $x=\frac{\tan(u)}{t}$ [/mm] musst du das nur noch in die Variable "x" zurück übersetzen ...
Gruß
schachuzipus
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