Stammfunktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Bestimme das Integral nach x und y im Intervall [0,1] |
..Ich kriege es nicht hin von der Funktion eine Stammfunktion für x und y zu bilden.
Ich müsste [mm] \bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] und [mm] \bruch{-x}{x^2+y^2} [/mm] erhalten aber ich komme darauf nicht,
Könnt ihr mir erklären wie ich darauf komme?
MfG
Mathegirl
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> [mm]f(x,y)=\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Bestimme das Integral nach x und y im Intervall [0,1]
> ..Ich kriege es nicht hin von der Funktion eine
> Stammfunktion für x und y zu bilden.
>
> Ich müsste [mm]\bruch{y}{x^2+y^2}[/mm] und [mm]\bruch{-x}{x^2+y^2}[/mm]
> erhalten aber ich komme darauf nicht,
>
> Könnt ihr mir erklären wie ich darauf komme?
Mache eine Partialbruchzerlegung für den Integranden!
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Kannst du mir das für dieses beispiel nochmal erklären? ich komme nicht darauf wie ich eine Partialbruchzerlegung finden kann. ich habe es über die Polstellen versucht, komme damit aber nicht so recht weiter.
MfG
mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
1) bzgl. x:
Du hast im Nenner eine doppelte rein komplexe Nullstelle, also wähle den Ansatz:
[mm] $\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+y^2}+\frac{Cx+D}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
Mache nun wie üblich gleichnamig und dann einen Koeffizientenvergleich.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 28.08.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Okay, jetzt hab ichs verstanden! Dann erhalte ich auch ziemlich schnell [mm] \bruch{y}{x^2+y^2}!
[/mm]
MfG
mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 28.08.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
alternativ könnte man auch einfach folgendes tun:
[mm] \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^2-y^2+2y^2-2y^2}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] .
Koeffizientenvergleiche können manchmal so mühsam sein, daher benutze ich wenn möglich gerne diesen kleinen Trick (addieren und subtrahieren). Das erste ist ein arctan-Integral und dem zweiten kannst du auch mit einer trigonometrischen substitution zu leibe rücken.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Di 28.08.2012 | | Autor: | heinze |
Ich bin soeben auf die Frage von Mathegirl gestoßen und bräuchte noch etwas Erklärungsbedarf.
Partialbruchzerlegung leuchtet mir noch recht ein. Gibt es einen "Trick" dafür, wie man das bei beliebigen Funktionen schneller auf die Reihe kriegt?
Vielleicht lässt sich das an diesem Beispiel nochmal verdeutlichen.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo,
siehe meine Antwort von oben. Das ist wohl der "elegante" Weg.
Ansonsten ist Dir die Partialbruchzerlegung klar ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 28.08.2012 | | Autor: | heinze |
Partialbruchzerlegung beherrsche ich nicht perfekt, aber ich kriege es bei Funktionen im Eindimensionalen hin. Allerdings nicht wenn speziell nach x oder y zu integrieren ist.
Dein Rechenweg ist mir nicht ganz so klar wie Partialbruchzerlegung, vermutlich hab ich das Schema zu Partialbruchzerlegung zu sehr verinnerlicht.
Wenn ich den Nenner auflöse, dann habe ich:
[mm] \bruch{x^2-y^2}{x^2+x^2y^2+y^4} [/mm]
Hier kann normalerweise Polynomdivision angewandt werden zum Nullstellen berechnen. Habe ich die Nullstellen, dann kann ich den Nenner aufgliedern. Doch wie mache ich das speziell nur für die x oder y? DAS irritiert mich.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 28.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] x^2+y^2 [/mm] keine Nullstellen ausser x0y0ß hat sollte klar sein.
für die x integration ist y ne Konstante. also hast du om Nenner [mm] (x^2+c^2)^2 [/mm] und das kann man reell nur wie im anderen post gesagt aufteilen.
Da du einzeln nach x und y integrieren sollst unterscheidet sich das ganze nicht von dem 1 d Fall
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:32 Mi 29.08.2012 | | Autor: | heinze |
Schon zig Beiträge zu dem Thema, aber ich muss trotzdem nochmal nachhaken, denn verstanden ist es noch nicht wie ihr auf diese Partialbruchzerlegung im Nenner kommt.
Warum erhält man [mm] (x^2+y^2) [/mm] und [mm] (x^2+y^2)^2 [/mm] für [mm] (x^2+y^2)^2 [/mm] ?
LG heinze
|
|
|
| |
|
Hallo heinze,
bei mehrfachen Nullstellen des Nenners wählt man diesen Ansatz für eine Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{Zaehler}{(x - x_0)^n} = \bruch{A_1}{(x - x_0)^1} + \bruch{A_2}{(x - x_0)^2} + ... + \bruch{A_n}{(x - x_0)^n} [/mm]
Steht im Nenner der Ausdruck [mm] x^2 + px + q [/mm] ohne reelle Nullstellen und will man gleichzeitig eine Rechnung mit komplexen Zahlen umgehen, so wählt man den Ansatz:
[mm] \bruch{Zaehler}{(x - x_0)*(x^2 + px + q)} = \bruch{A}{x - x_0} + \bruch{Bx + C}{x^2 + px + q} [/mm]
Stehen nun mehrfache komplexe Nullstellen im Nenner, so wählt man als Ansatz:
[mm] \bruch{Zaehler}{(x^2 + px + q)^n} = \bruch{A_{1}x + B_1}{(x^2 + px + q)^1} + \bruch{A_{2}x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \bruch{A_{n}x + B_n}{(x^2 + px + q)^n} [/mm]
Gruß
fz
|
|
|
|
