Stammfunktion bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:15 Mo 19.05.2008 | | Autor: | katerkarlo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Stammfunktion zu g(x) = [mm] \frac{1}{2+sin x} [/mm] durch geeigente Substitution |
Gut, habe inzwischen gelesen, dass man bei solchen Aufgaben meist mit der Substitution tan(x/2) weiter kommt.
u = tan [mm] \frac{x}{2}
[/mm]
[mm] \frac{du}{dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 cos^2 \frac{x}{2}}
[/mm]
dx = 2 [mm] cos^2 \frac{x}{2} [/mm] du = 1+cos x du
[mm] \int{\frac{1}{2+sin x}} [/mm] =
[mm] \int{\frac{1}{2+(\frac{sin x}{1+cos x} * (1+cos x))}} [/mm] =
[mm] \int{\frac{1}{2+(u * (1+cos x))}} [/mm] * (1+cos x) du
Ich werde das x aber nicht los.... jemand einen kleinen Tipp zur Substitution?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:29 Mo 19.05.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Hallo!
Ich bin mir zwar nicht ganz sicher, aber ich habs mal folgendermaßen gerechnet:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2 + sin(x)}*dx} [/mm] $
Substitution:
$ z = 2 + sin(x) $
$ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = cos(x) $
$ dx = [mm] \bruch{dz}{cos(x)} [/mm] $
Einsetzung:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z}*\bruch{1}{cos(x)}*dz} [/mm] $
-> Jetzt ist cos(x) lediglich eine Konstante!
Stammfunktion:
$ [mm] \ln[z]*cos(x) [/mm] $
$ [mm] \ln[2+sin(x)]*cos(x) [/mm] $
Müsste so klappen.
MfG
Michael
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Dein Vorschlag ist leider falsch. Wenn du deine Funktion ableitest erhälst du eine Funktion, deren Bild ungleich der Ursprungs-Funktion ist.
So, ich bin es wohl zu kompliziert angegangen.
Habe es nun wie folgt gemacht:
[mm] \int{\frac{1}{sin(x)+2}} [/mm]
Substituiere
[mm] u=tan(\frac{x}{2})
[/mm]
dx = [mm] \frac{2 du}{1+t^2}
[/mm]
sin(x) = [mm] \frac{2u}{1+u^2}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{1}{\frac{2u}{1+u^2}+2} \frac{2 du}{1+u^2}}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{2 du}{\frac{2u}{1+u^2}*(1+u^2)+2+2u^2}}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{du}{u^2+u+1}}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{du}{(u+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} du}}
[/mm]
Substituiere
v = [mm] u+\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \frac{dv}{du} [/mm] = 1
= [mm] \int{\frac{1}{v^2+\frac{3}{4}} dv}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{1}{(\frac{2v}{\sqrt{3}})^2 * \frac{3}{4}+\frac{3}{4}} dv}
[/mm]
= [mm] \frac{3}{4} [/mm] * [mm] \int{\frac{1}{(\frac{2v}{\sqrt{3}})^2 + 1} dv}
[/mm]
Substituiere
w= [mm] \frac{2v}{\sqrt{3}}
[/mm]
[mm] \frac{dw}{dv} [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{3}}
[/mm]
= [mm] \frac{2}{\sqrt{3}} [/mm] * [mm] \int{\frac{1}{w^2+1}} [/mm] dw
= [mm] \frac{2}{\sqrt{3}} [/mm] * arctan(w)
Zurück substituieren
= [mm] \frac{2}{\sqrt{3}} [/mm] * [mm] arctan(\frac{2v}{\sqrt{3}})
[/mm]
= [mm] \frac{2}{\sqrt{3}} [/mm] * [mm] arctan(\frac{2*(u+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})
[/mm]
= [mm] \frac{2}{\sqrt{3}} [/mm] * [mm] arctan(\frac{2*(tan(\frac{x}{2})+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})
[/mm]
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Hallo katerkarlo,
> Dein Vorschlag ist leider falsch. Wenn du deine Funktion
> ableitest erhälst du eine Funktion, deren Bild ungleich der
> Ursprungs-Funktion ist.
>
> So, ich bin es wohl zu kompliziert angegangen.
>
> Habe es nun wie folgt gemacht:
>
> [mm]\int{\frac{1}{sin(x)+2}}[/mm]
>
> Substituiere
> [mm]u=tan(\frac{x}{2})[/mm]
> dx = [mm]\frac{2 du}{1+t^2}[/mm]
> sin(x) = [mm]\frac{2u}{1+u^2}[/mm]
>
> = [mm]\int{\frac{1}{\frac{2u}{1+u^2}+2} \frac{2 du}{1+u^2}}[/mm]
> =
> [mm]\int{\frac{2 du}{\frac{2u}{1+u^2}*(1+u^2)+2+2u^2}}[/mm]
> =
> [mm]\int{\frac{du}{u^2+u+1}}[/mm]
> = [mm]\int{\frac{du}{(u+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} du}}[/mm]
>
> Substituiere
> v = [mm]u+\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\frac{dv}{du}[/mm] = 1
>
> = [mm]\int{\frac{1}{v^2+\frac{3}{4}} dv}[/mm]
> =
> [mm]\int{\frac{1}{(\frac{2v}{\sqrt{3}})^2 * \frac{3}{4}+\frac{3}{4}} dv}[/mm]
>
> = [mm]\frac{3}{4}[/mm] * [mm]\int{\frac{1}{(\frac{2v}{\sqrt{3}})^2 + 1} dv}[/mm]
>
> Substituiere
> w= [mm]\frac{2v}{\sqrt{3}}[/mm]
> [mm]\frac{dw}{dv}[/mm] = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm]
>
> = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm] * [mm]\int{\frac{1}{w^2+1}}[/mm] dw
> = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm] * arctan(w)
>
> Zurück substituieren
> = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm] * [mm]arctan(\frac{2v}{\sqrt{3}})[/mm]
> = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm] *
> [mm]arctan(\frac{2*(u+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})[/mm]
> = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm] *
> [mm]arctan(\frac{2*(tan(\frac{x}{2})+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})[/mm]
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Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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